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plexen Multiplikation" von Abel begründet, hauptsächlich von 

 Kronecker, dann von Weber allgemein durchgeführt und neuer- 

 dings von Herrn Fueter durch seinen Vollständigkeitsbeweis zu 

 einem ersten Abschluss gebracht worden ist. Diese Theorie ist von 

 einem ganz bestimmenden Einfluss auf die neuere Zahlentheorie ge- 

 worden, insofern hier der Keim zu dem von Herrn Hubert ge- 

 schaffenen Begriffe des Klassenkörpers liegt, der die moderne Zahlen- 

 theorie beherrscht. 



Vom Standpunkt der allgemeinen Theorie der Klassenkörper aus 

 sind nun ganz analoge Fragen für einen beliebigen Grundkörper an 

 Stelle des oben auftretenden imaginär-quadratischen Körpers mög- 

 lich. Für den Körper der rationalen Zahlen, der mit dem imaginär- 

 quadratischen Körper die Eigenschaft teilt, nur endlich viele Ein- 

 heiten zu besitzen, führt diese Frage auf die wohlbekannten L-Reihen, 

 die sich aus Bestandteilen 



(an + b) s 



zusammensetzen (a, b ganze Zahlen). Die Bestimmung des konstanten 

 Gliedes, welches dem A von vorhin entspricht, hat Kummer 1 ) bei 

 der Bestimmung der Klassenzahl des Körpers der a-ten Einheits- 

 wurzeln durchgeführt. Diese Reihen führen von rein zahlen- 

 theoretischen Fragen her auf die Exponentialfunktion e ' die für 

 z = — gerade den betreffenden Zahlkörper liefert. 



Hiernach erschien es also von grösster Wichtigkeit, nun für be- 

 liebige Zahlkörper das entsprechende Problem zu lösen; das führt 

 auf die Untersuchung folgender Summen : 



2-M»- s , (2) 



M 



worin N{[i) die Norm von fi (absolut genommen) bedeutet und \i 

 alle ganzen durch ein bestimmtes Ideal a teilbaren Zahlen eines 

 algebraischen Zahlkörpers k zu durchlaufen hat, dabei jedoch von 

 jedem System assoziierter (sich nur um Einheitsfaktoren unter- 

 scheidender) Zahlen nur je ein Individuum. Das Ideal {fi) durchläuft 

 also das System aller durch a teilbaren Hauptideale. Überdies hat 

 fi im allgemeinen noch gewisse lineare Kongruenzbedingungen zu er- 

 füllen. Das Residuum dieser Funktion bei s = l hat Dedekind bei 

 der Ermittelung der Klassenzahl von k bestimmt. Dagegen bietet die 



!) Zeitlich liegt das Kummersche Resultat vor dem Kroneckerschen. Die 

 Auffassung aller derartigen Reihen als zu gewissen „Klassenkörpern" gehörend, 

 hat sich vorzugsweise im Anschluss an die Kroneckerschen Reihen (*) ausge- 

 bildet, weshalb ich diese voranstellte. 



