Kroneckersche Grenzformel für reelle quadratische Körpej. 365 



Bestimmung des konstanten Gliedes infolge der von den Einheiten 

 herrührenden Summationsbeschränkung Schwierigkeiten dar, die nur 

 in den oben genannten Fällen wegfallen. Auf die Bedeutung dieser 

 Fragestellung haben unter anderen Herr Hubert in seinem Pariser 

 Vortrage über mathematische Probleme und D edekind in einer seiner 

 letzten Arbeiten hingewiesen. 



Es ist mir nun gelungen, das genannte Problem zu lösen, d. h. 

 den Koeffizienten A im Falle der Summe (2) durch analytische 

 Funktionen mehrerer Variablen vom Charakter automorpher Funk- 

 tionen auszudrücken. Und zwar führt dabei derselbe einfache Ge- 

 danke zum Ziel, mit dessen Hilfe ich kürzlich die Fortsietzbarkeit 

 aller Ç k (s) und verwandter Funktionen beweisen konnte. 2 ) 



Für den reellen quadratischen Körper insbesondere ergibt sich 

 das überraschende Resultat, dass ivieder nur der Logarithmus der 

 i] -Funktion, allerdings unter dem Integralzeichen auftritt, indem 

 nämlich die Formel für den reellen quadratischen Körper als un- 

 mittelbare Folge der Kronecker sehen Formel für definite Formen 

 sich herausstellt (s. Gl. (5)). Im ersten Paragraphen werde ich diesen 

 Zusammenhang entwickeln ; im zweiten decke ich den Zusammenhang 

 der Summen (2) mit gewissen, besonders von Herrn Epstein unter- 

 suchten Zetafunktionen auf, woraus sich sogleich die allgemeine 

 Grenzformel ergibt. Endlich bringe ich im letzten Paragraphen einige 

 Erörterungen über die Bestimmung der Klassenzahl relativ- Abelscher 

 Zahlkörper, welche durch diese Formeln ebenfalls geleistet wird. 



Ich werde mich überall nur auf die einfachsten Fälle be- 

 schränken; ich beabsichtige an anderer Stelle diese Fragen in 

 mehreren Richtungen ausführlicher zu behandeln. 



Reelle quadratische Körper. 



Es sei im reellen quadratischen Zahlkörper Je ein Ideal a ge- 

 geben ; a t , a 2 sei eine Basis von Ct. Ferner bezeichnen wir mit e 

 die positive Grundeinheit von 1c, welche grösser als 1 ist. Endlich 

 setzen wir 



fi = m d a t + m. 2 « 2 

 und haben nun die Summe 



f(s)=y 1 \wv (3) 



2 ) Ueber die Zetafunktion beliebiger algebraischer Zahlkörper. Nachr. d. Kgl. 

 Ges. d. Wissensch. zu Göttinnen (math.-physikal. Klasse) 1917. (Sitzung vom 23. 

 XII. 16). 



