Kroneckersche Grenzformel für reelle quadratische Körper. 367 



Dieser Integrand ist nun eine analytische Funktion von s, die 

 bei s =-■ 1 einen Pol erster Ordnung hat und sonst im Endlichen regulär 

 ist. Die Kroneckersche Grenzformel 3 ) liefert folgende Entwickelung 

 nach s —1 : 



^'(Am^ + 2 Bm 1 m 2 + Cm 2 2 )~ s = -^ + A + A^s - 1) + • • , 

 mit den Werten 



~ 1 . Y m 

 2nr\Vj 2n 2rj(œ)ii(-œ)V r m 



Y m Y m Y A 



Zur Abkürzung ist hier gesetzt : 



m = AC-B 2 , \m>0 



B-\-iY>n — -B+iYm t a r» -r> n a 



o) = , — (ß = — , Am t + 'ZBm± m 2 + Cm.^ = 



A{m x + com 2 ) {m 1 + com 2 ). 



Für den Logarithmus ist der reelle Wert zu nehmen. fj((o) bedeutet 

 die „Diskriminante" : 



JTlü) 



so sind 



7] (oj) = e 12 Tb (1 - e 27tin<ü ) 



n = l 



In unserm Falle haben wir die quadratische Form 



V V V V 



fi 2 e v + (i" 2 e~ v = (fie 2 + i/i'e 2 *([ie 2 — ifi'e 2 ' 

 Nehmen wir a t , a. 2 so, dass die Determinante 

 A = a t a 2 — a 2 a t ' > 0, 



a 2 e 2 +'«2' e " a 2 ßV "H ia i 

 CO = = 



v -v v , • i 



-s . . , - °l e + to l 

 cüj e & -\- icti e - 



— - a 9 e v 4- iaJ 

 - CO = — - 



v ■ ' 



a-, e - ictr. 



(4) 



A = a* e v + < 2 e~ v 



m = - A\oj - cd) 2 = 4(a 1 a 2 — a 2 a/) 2 = (2A) 2 



Damit erhalten wir endlich für die Entwickelung unser Funktion 



r(|) 2 



—pTY f( s ) um den Punkt 5=1 durch Integration nach v : 



3 ) Vgl. etwa H. Weber, Ellipt. Funkt, u. algebr. Zahlen. 2. Aufl. (1908) pg. 531. 



