368 E. Hecke. 



Das Residuum hat den Wert 



-\-loge 



Nri dv = -, — k log £ 



-loge 



Das konstante Glied hat den Wert 



+ logs 



- 2 M r W + log 4) hg c , r mm-*) dv (6) 



(«! a 2 ' - a. 2 <) y K oj' - a 2 O J V a^e v + a 1 ' i e~ v 



Dieses Integral ist eine Funktion allein von o^, a 2 , die sich ihrer 

 Entstehung nach nicht ändert, wenn man a x , a 2 einer linearen ganz- 

 zahligen Transformation mit Determinante -\- 1 unterwirft ; es ist 

 eine „arithmetische Invariante" im Sinne von Poincaré. Die Invarianz 

 lässt sich auch direkt aus den Eigenschaften der ^-Funktion herleiten. 

 Führt man in dem Integral etwa a> an Stelle von v als Variable 

 ein, so wird der Integrationsweg in der Ebene der komplexen 

 Variabein co ein Teilbogen des Halbkreises, der die beiden Punkte 



— und — -, der reellen Achse mit einander verbindet. Die Endpunkte 



dieses Teilbogens sind aequivalent vermöge einer solchen Trans- 

 formation der Modulgruppe, welche die beiden reellen Punkte gu 

 Fixpunkten hat. Wir gelangen so in den Kreis der Ideenbildungen 

 von St. Smith über den Zusammenhang der elliptischen Modul- 

 funktionen mit den indefiniten quadratischen Formen. Diese Theorie 

 ist bisher wenig bearbeitet worden; 4 ) ihr Auftreten bei unserm 

 Problem deutet darauf hin, dass ihr für die Untersuchung der reellen 

 quadratischen Körper eine viel grössere Bedeutung zukommt, als man 

 bisher bemerkt hat. 



Allgemeine Zahlkörper. 



Liegt an Stelle des reellen quadratischen Zahlkörpers ein be- 

 liebiger Zahlkörper Je = Jc {1) vom n-ten Grade zu Grunde, unter dessen 

 konjugierten /c (1) , Jc {2) , ■ ■ ■ Je 1 reell sind (Yj ^> 0) , während die 

 übrigen Je - 1 , • • Je imaginär sind (ihre Anzahl 2r 2 ^ 0), so lässt 

 sich das entsprechende Problem, die Ermittelung des A , vermöge 

 der Methode zur Erledigung bringen, die ich an der oben zitierten 

 Stelle bei Untersuchung der Funktionen Ç k (s) angewendet habe. 



i ) Vgl. insbesondere die Ausführungen in Klein-Fricke, Ellipt. Modulfunktionen, 

 Bd. II. pg. 165 ff. über die Smith'sche Kurve. 



