Kroneckersche Grenzformel für reelle quadratische Körper. 369 



Man gelangt indessen rascher zum Ziele, wenn man wie im vorigen 

 Paragraphen die betr. Dirichletsche Reihe auf eine Klasse von 

 Funktionen zurückführt, welche von mehreren Autoren, insbesondere 

 Herrn Epstein 5 ) bereits untersucht worden und von ihm als „all- 

 gemeine Zetafunktionen" bezeichnet worden sind. 



Es sei etwa a 1 , a 2 , • • a n ein System von Basiszahlen eines 

 Ideals a im Körper & = & (1) , ferner e 1 , s 2 ,-e r (r=r 1 + r 2 — 1) ein 

 System von Grundeinheiten, endlich verstehen wir unter 



[i = m 1 «i + m 2 ct 2 + ■ — + m n a n 



eine Zahl aus a (=j= 0). Die Nummerierung der konjugierten Körper 

 sei ferner so getroffen, dass für einen imaginären Körper Je (p <^ r x + r 2 ) 

 stets Je %' den konjugiert imaginären Körper bedeutet. Ist p Index 

 eines reellen Körpers, so setzen wir 



oo S 







dagegen wenn p Index eines imaginären Körpers ist (p < r t + r 2 ) 







Für das Produkt aller fiüft findet man so ein (r + 1)- fâches Integral: 



^r^r^iN^r '- f " /ei"" ,|!t - ft - t, w • é 







dt l • •dt r , l 



Hierbei ist zu vereinbaren, dass für f] + 1 < p < r 2 + r x immer 



t =t , 

 p P+ r 2 



zu setzen ist, also konjugiert imaginäre Körper dasselbe t zugeordnet 

 erhalten. An Stelle der t führen wir die Variabein u, x t , ■ x. durch 

 die Gleichungen 



t p = ue p = 1, 2, • • r + 1 



ein. Die Funktionaldeterminante der t nach den neuen Variabein ist 



5 ) P. Epstein, Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen. Math. Ann. 56. (1903). 

 pg. 615 ff. (Für das Folgende insbesondere pg. 644). 



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