Kroneckersche Grenzformel für reelle quadratische Körper. 371 



mit Ausschluss von m t = ■ • • m n = zu summieren. In dem Summanden 

 steht jetzt eine definite quadratische Form der Summationsbuch- 

 staben. Die Reihe konvergiert, wenn s > 1 und ist nichts anderes 

 als eme von Herrn Epstein „allgemeine Zetafunktion n-ier Ordnung" 

 genannte Funktion. Durch diese Formel erhält die Benennung 

 Zetafunktion eine unerwartete Rechtfertigung von der Theorie der 

 algebraischen Zahlkörper her. 



An der zitierten Stelle hat Herr Epstein vermittels der Theorie 

 der Thetafunktionen das Verhalten einer Zetafunktion bei dem Pole 

 s = 1 untersucht. Für das konstante Glied in der Entwicklung nach 

 s — 1 findet er einen Ausdruck, der, von unwesentlichen Konstanten 

 abgesehen, sich aus zwei Bestandteilen zusammensetzt : erstens dem 

 Werte einer Zetafunktion (n-l)-ter Ordnung bei s= 1, welche ent- 

 steht, wenn man in der Summe nur die Glieder mit m 1 = nimmt, 

 und zweitens dem Logarithmus eines (n — l)-fach unendlichen Pro- 

 duktes, das als die genaue Verallgemeinerung der ?? -Funktion aus der 

 Theorie der elliptischen Funktionen zu bezeichnen ist. 



Nach denselben Prinzipien lässt sich die Summe (8), wenn 

 fi noch linearen Kongruenzen genügen muss, auf die Epsteinsehen 

 Zetafunktionen zurückführen, und ihre Entwickelungskoeffizienten 

 bei s = 1 lassen sich aus derselben Formel angeben. 6 ) Ich gedenke an 

 anderer Stelle eine ausführlichere Darstellung dieser Theorie zu geben, 

 in der ich auch eine direkte Berechnung der fraglichen Koeffizienten 

 durchführen werde, welche die Einführung der Thetafunktionen ver- 

 meidet. 



§ 3. 



Die Klassenzahl relativ Abelscher Zahlkörper. 



Die oben entwickelten Formeln gestatten eine Darstellung der 

 Klassenzahl relativ-Abelscher Zahlkörper in einer ähnlichen Gestalt, 

 wie sie Kummer für die Kreiskörper gegeben hat. Sobald für 

 einen Grundkörper k die Zerf ällung seiner Primideale in einem Ober- 

 körper jBl bekannt ist, lässt sich die zu K gehörige ^-Funktion durch 

 die zu k gehörige und ähnliche Reihen vom Typus (2) darstellen, 

 deren Wert für s = 1 bei dem Klassenproblem in Frage kommt. Auf 

 diese Art ist es möglich, den Quotienten aus der Klassenzahl von 

 K und von k vermöge der Grössen darzustellen, die oben allgemein mit 

 A bezeichnet wurden. 



Der einfachste Fall nach den Kreiskörpern ist derjenige, wo k 

 ein imaginärer quadratischer Körper und K ein relativ-Abelscher 



6 ) Vgl. meine im Februar 1917 der Göttinger Ges. d. Wissenschaften vor- 

 gelegte Arbeit: Ueber die L-Funktionen und den Dirichletschen Primzahlsatz 

 für einen beliebigen Zahlkörper. 



