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Körper ist, wie er durch die komplexe Multiplikation der elliptischen 

 Funktionen geliefert wird. Die in der Hauptsache bekannten Zer- 

 legungsgesetze in K führen dann bei der Bestimmung der Klassen- 

 zahl gerade auf die Kroneckersche Grenzformel, vermöge deren, wie 

 Herr Fueter 7 ) gezeigt hat, sich für die Klassenzahl von K ein Aus- 

 druck ergibt, der neben einer damals noch unbekannten Grösse die 

 Logarithmen der ^-Funktion ebenso enthält wie die Kummersche 

 Formel die Logarithmen der Kreiseinheiten. 



Nehmen wir nun für k einen beliebigen Grundkörper, welcher 



noch die /-Einheitswurzel enthalte (l eine ungerade Primzahl). Der 



i 



Relativkörper der durch die l-te Wurzel aus einer Zahl von k, y 6 

 erzeugt wird, sei K. Ist alsdann co eine Primärzahl in k oder 

 was dasselbe ist, ist die Relativdiskriminante von K bezüglich 

 k zu dem Grad l prim, so gibt das Hilbert-Furtwänglersche Rezi- 

 prozitätsgesetz über die Zerfällung der Primideale aus k im Ober- 

 körper K folgenden Satz : Alle Primideale, welche mod. œ in die- 

 selbe Klasse gehören, zerfallen in K in derselben Art. Dies hat 

 zur Folge, dass man die Funktion Ç K (s) durch Ç k (js) und die ge- 

 wöhnlich mit L(s, x) bezeichneten Funktionen ausdrücken kann, wo- 

 bei x em Charakter mod. co ist. Der Quotient der Klassenzahlen 

 von K und ]c wird dann durch die Werte von L(s, x) De i 5 = 1 be- 

 stimmt und diese sind nach den oben angegebenen Prinzipien durch 

 die Logarithmen gewisser transzendenter Funktionen, wie Gl. (5) 

 zeigt, darstellbar. 



Ähnliches gilt, falls in k nicht die l-te Einheitswurzel vorkommt, 

 wenn K ein relativ-cyclischer Körper vom Relativgrade l ist, dessen 

 Relativdiskriminante zu l prim ist. Dieser Zusatz ist notwendig, weil 

 man gegenwärtig das Reziprozitätsgesetz für nicht primäre Zahlen 

 noch nicht kennt. 



Nimmt man z. B. für k den absoluten Rationalitätsbereich, und 

 für K einen auflösbaren, d. h. durch Wurzelzeichen darstellbaren 

 Körper, so erhält man folgenden allgemeinen Satz : 



Die Klassenzahl eines jeden auflösbaren Körpers, dessen Dis- 

 kriminante und Grad prim zu einander sind, lässt sich durch die 

 Integrale über Logarithmen gewisser transzendenter Funktionen dar- 

 stellen, in derselben Weise, wie Kummer die Klassenzahl der Kreis- 

 körper durch die Logarithmen der Kreiseinheiten dargestellt hat. 



7 ) Die verallgemeinerte Kroneckersche Grenzformel und ihre Anwendung auf 

 die Berechnung der Klassenzahl. Rendiconti del Cire. Mat. di Palermo 1910 I. 

 Von dem damals noch unbekannten Faktor F habe ich gezeigt, dass er den 

 Wert 1 hat. 



Manuskript eingegangen 15. März 1917. 





