Über eine Klasse von Funktionalgleichungen. 



Von 

 O. Spiess. 



Einleitung". 



Ist x ± = f(x) eine gegebene analytische Funktion, so nenne ich 

 jede Funktion, die der Gleichung genügt 



(1) F(x 1 )=F(x) 



einen Ring von f(x). Jede Lösung der Gleichung 



(2) 0{x ± ) = a&{x) 



soll eine Axe von f(x) heissen, die Konstante a der Regulator der Axe. 

 Gleichungen der Form (2) (Axengleichung, gewöhnlich Schroeder'sche 

 Gleichung genannt) treten in der Theorie der automorphen Funk- 

 tionen auf. Man betrachtet dort als gegeben und sucht algebraische 

 Funktionen f(x), die zu verschiedenen Werten von a gehören. Man 

 spricht dann von einem Multiplikationstheorem. Andere Fragen der 

 Analysis (Funktionalgleichungen, Transformationsgruppen, Itera- 

 tionsrechnung) führen auf das umgekehrte Problem, das uns hier 

 allein beschäftigt, zu einem gegebenen f(x)Lösungen zu bestimmen. 

 Um dieses Problem zu lösen, bietet sich als natürliches Hilfsmittel der 

 Iterationsprozess dar, angewandt auf die Funktion f(x). Es ist vor 

 allem das Verdienst von Koenigs, 1 ) diese wichtige Operation auf 

 einen exakten funktionentheoretischen Boden gestellt zu haben. Ihm 

 und seinen Nachfolgern Orévy, 2 ) Le au 3 ) u.a. 4 ) mehr gelang es 

 damit, für allgemeine Klassen von Funktionen f(x) die Existenz einer 

 analytischen Lösung von (2) nachzuweisen. Besitzt nämlich f{x) 

 einen Fixpunkt w, in dessen Umgebung die Funktion sich in eine 

 reguläre Reihe entwickeln lässt, so liefert die Iterationsrechnung in 



!) Koenigs. (Bull, d. Sciences Math.) (2) VII 1883. — Ann. d. l'Ec. Norm. 

 Sup. (3) I (1884), II (1885). 



2 ) Grévy. Ann. d. l'Ec. Norm. Sup. (3) (1894) (1896). 



3 ) Leau. Ann. de Toulouse XI. 1897. 



4 ) Vgl. besonders Niccoletti. Mem. d. Soc. ital. d. Sc. 3a XIV (1906) mit 

 Literaturverzeichnis. 



