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der Umgebung von co eine Lösung @(x). Nur im Fall f'(o)) = e 2ni Q 

 (wo Q irrational) versagt die Methode. Aber ausser der Existenz 

 weiss man von diesen Funktionen so gut wie nichts. Der Zusammen- 

 hang der Axen, die zu verschiedenen Fixpunkten gehören, die Gestalt 

 von Existenz- und Wertbereich etc. ist unbekannt. Von trivialen 

 Fällen abgesehen (in denen sich f{x) in geschlossener Form iterieren 

 lässt), ist es in keinem Fall gelungen, von der Gleichung (2) aus- 

 gehend, die Natur der Funktion zu erschliessen. 



Eine Ausnahme bildet bis zu einem gewissen Grade das Beispiel, 

 mit dem Gauss 5 ) eigentlich dies ganze Problem ins Leben gerufen 

 hat. Seine Untersuchungen über das arithmetisch-geometrische Mittel 

 führten ihn auf die Gleichung (2), in der 



2f~o 



= 2 



war. 



1 1 + x 



Er fand die 2 Lösungen, die unsern späteren Formeln (3 a ) (3 b ) ent- 

 sprechen, doch ist aus den hinterlassenen Fragmenten nicht ersichtlich, 

 inwieweit er rein auf jenen Reihen weiterbaute oder Resultate der 

 anderweitig begründeten Theorie der elliptischen Funktionen heran- 

 zog, 6 ) wie er dies in der fertigen Abhandlung über das arithmetisch- 

 geometrische Mittel wirklich tat. Dort erscheint als Quotient zweier 

 Funktionen ip , if) ± , die den Gleichungen genügen 



1 + X 



(B) xp {x) = {l+x)ift {x) , Vi(«) = — 2~ #i(«) 



Gauss löst diese Gleichungen durch Potenzreihen, deren Gesetz er 

 errät und die sich als Integrale derselben Differenzialgleichung er- 

 weisen : 



(C) x (1-x 2 ) ty" + (1 - 3a?) if)' - xip = 



Schliesslich ergeben sich tp , tp 1 als bestimmte elliptische Integrale. 



Spätere Bearbeiter haben versucht, das empirische Moment aus- 

 zuschalten und direkt von (B) auf (C) zu schliessen. Durch rein 

 formale Prozesse geht dies natürlich nicht, da die Gleichungen (B) 

 unendlich viele Lösungen besitzen, aber nur je eine, die bei (resp. 1) 

 reguläre, der Gleichung (0) genügt. Daher besitzt die Abhandlung 

 von Borchardt 1 ) eine wesentliche Lücke. Gänzlich ungenügend ist 

 ferner ein Versuch von Schering in Gauss' Werke Bd. III. Dagegen 

 gibt Lokmtein 8 ) eine richtige Ableitung, die freilich ohne Kenntnis 

 des Resultats kaum zu finden war. 



Es war nun seit Jahren mein Ziel, das Problem der Gleichung (2) 



5 ) Gauss. Werke III. 



c ) Vgl. Schlesinger. Monatsber. d. Berliner Ak. 1898 (pag. 346). 



7) Borchardt. Crelle 58 (1861). 



8 ) Lohnstein. Ztschr. f. Math. u. Phys. 33 (1888). 



