Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 409 



mit den Mitteln der Iterationsgleichung allein durchzuführen, ohne 

 etwa bei der Theorie der Dif ferenzialgleichungen Anleihen zu machen. 

 Es gelang mir, die Gedanken, die den zitierten Arbeiten zugrunde 

 liegen, zu einer Methode auszubauen, die es tatsächlich gestattet, in 

 verschiedenen Fällen mit wenig Rechnung ans Ziel zu gelangen. Ich 

 werde diese Methode im folgenden an dem klassischen Beispiel (A) 

 sowie an zwei andern Funktionen erläutern, bei denen das Resultat 

 nicht a priori bekannt war. Darüber hinaus bin ich zu allgemeinen 

 Sätzen gelangt, von denen in § 4 einige gegeben werden. Es war 

 vor allem nötig, den Begriff der Iteration einer analytischen Funktion 

 in geeigneter Weise zu präzisieren, wodurch auch Funktional- 

 gleichungen wie (1) und (2) erst einen exakten Sinn bekommen. Da- 

 bei zeigt es sich, dass man bei mehrdeutigen Funktionen i. A. un- 

 endlich viele Iterationsarten zu unterscheiden hat, die sich ganz ver- 

 schieden verhalten können. Diese Dinge werden in § 1 auseinander- 

 gesetzt, § 2 und § 3 sind den speziellen Beispielen gewidmet, während 

 § 4 die allgemeinen Betrachtungen von § 1 weiterführt. 



Die Funktionen, deren Axen wir bestimmen werden, sind die 

 folgenden : 



, > 2l/œ y, v /x(3-x) ., v /x(l-a;) 



Sie führen alle drei auf Modulfunktionen, was bei der zweiten und 

 dritten neu ist. Im Folgenden sind auch die allgemeinen Betrach- 

 tungen der notwendigen Kürze halber auf diese Beispiele zuge- 

 schnitten. 



A. Kritische Punkte. 



Ist f(x) eine analytische Funktion, ft-i) = f ihre Inverse, so be- 

 zeichne ich die durch Iteration aus ihnen entspringenden Funktionen mit 

 f(2), fis) ■ ■ • f{-2), A-3)- Verschiedene Zweige werden durch obere Indizes 

 unterschieden. f(n)(%) heisse das n-te Itérât von /(sc), wobei n, wie 

 immer in dieser Arbeit, jede ganze (positive oder negative Zahl 

 inkl. 0) bedeutet. Bezeichnet durchweg p eine positive ganze Zahl, 

 so heisst f(p){x) ein aufsteigendes, f(- P ){x) ein absteigendes Itérât. 



Die Verzweigungspunkte (V-Punkte) sämtlicher /(«) heissen 

 „kritische 1 ' Punkte. Ist w ein V. -Punkt von /(sc), so sind die sämtlichen 

 Werte von f(- P ){iv) V-Punkte von f( P y Im allgemeinen ist die Zahl der 

 kritischen Punkte unendlich, doch können auch bloss endlich viele 

 vorkommen. Diese bilden dann in bezug auf die Substitutionen / 

 und /(-ijeine endliche Gruppe. Das ist der Fall bei den obigen Bei- 



