Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 411 



Bezeichnung bei beliebiger Bewegung von x bei. Wandert nun x 

 von £ über W. nach£ 1? so geht x x längs einer Kurve W* zu einem 

 Punkt | a . Geht weiter x über Wt nach £ 2 , so begibt sich x x über 

 die Linie W» nach | 3 u. s. f. Die so erhaltenen Werte 



b> Sl) b2» b"p ' ' ' 



bilden die zu Wt gehörige „aufsteigende Itérai folge" . Lassen wir jetzt 

 die Variable a?, von £ t über "FT. nach £ wandern, so läuft # über 

 eine Linie rK|_ 1 zu einem Punkt §_ t ; geht x x nach £ so gelangt 

 x über TT ^ ^ nach f _ 2 etc. So finden wir die „absteigende Iteral- 

 folge" zu TT* 



Die sämtlichen | w bilden die totale Iteralfolge (zu TP\). Diese ist offen- 

 bar durch die definierende „Bahn" Wt eindeutig bestimmt. Die 

 aus den Linien ■ • ■ W t W t W t W t ■ ■ ■ gebildete Kurve heisst 



5-2 b-1 S SI D 



totale Bahnkurve der Iteration. Wir bezeichnen nun den Zweig von 

 f, n ix), der für x = % den Wert | w hat, mit x n und behalten diese 

 Bezeichnung bei, wenn x von seiner Anfangslage £ aus beliebige 

 Wege beschreibt. Lassen wir also x längs einer Linie L laufen, 

 so beschreibt jeder Punkt x n eine Bildkurve L und bei jeder Lage 

 von x bilden die Werte. 



die zu (x, L, TTJ gehörige Iteralfolge. 



Offenbar können wir diese Folge statt durch analytische Fort- 

 setzung der x n aus den £ n auch direkt nach derselben Methode entstehen 

 lassen, indem wir dem x eine Bahn W , zuordnen, nämlich die aus den 

 Kurven LW ë L 1 gebildete Linie. In der Tat, geht x über LW ^L ± nach 

 x 1} so wandert x ± über L 1 W 1 L 2 nach x 2 etc. Es ist ferner klar, dass. 

 man dieselben (| ) und damit (x n ) erhält, wenn man die Gestalt der 

 Linie W « abändert, solange dabei nur kein kritischer Punkt über- 

 schritten wird. Denken wir uns die Punkte x und x ± durch einen 

 dehnbaren Faden verbunden, der für x = £ die Lage von W * hat und 

 der bei Bewegung von x, x± mitgezogen wird, doch ohne jemals einen 

 kritischen Punkt zu berühren. Wird nun für ein beliebiges x, das 

 von £ auf einem Wege L erreicht wurde, eine mögliche Lage des 

 Fadens mit W x bezeichnet, so kann dieses W x als definierende Bahn 

 der zu (x, L) gehörigen Iteralfolge dienen. 



Zwei auf die geschilderte Weise ineinander überführbare Bahnen 

 W x , PF sollen „äquivalent" heissen oder „zur gleichen Iterationsart 

 gehörig" . Dieselbe Bezeichnung gelte auch für die zugehörigen Itérai- 



