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folgen (x ) (y ). Diese sind also durch analytische Fortsetzung längs 

 einer x und y verbindenden Linie ineinander überführbar. Zwei 

 Iteralf olgen hingegen, die aus nicht-äquivalenten Bahnen entspringen,, 

 gehen auf keine Weise Glied für Glied ineinander über, sie gehören 

 verschiedenen Iterationsarten an. 



Führt x eine geschlossene Bahn aus, die kritische Punkte um- 

 kreist, so geht die Folge (x n ) in eine Folge (x* n ) über, die sich von 

 jener in mindestens einem Gliede (bei unsern Beispielen sogar in allen 

 Gliedern von einem bestimmten Index an) unterscheidet. Jeder 

 Punkt x der Ebene gehört somit i. A. unendlich vielen Iteralf olgen 

 an, die durch Angabe des Weges L zu unterscheiden sind. Wenn ich 

 sage, „wir iterieren f(x) %-mal", so ist gemeint, dass die Variable von 

 ihrem Anfangswert x an längs einer zu (x, L, W*) gehörigen Bahn- 

 kurve nach x geht. Denkt man sich indess eine Biemann'sche 

 Fläche, auf der sämtliche Funktionen /, , eindeutig sind, so gehört 

 jeder Punkt dieser Fläche einer einzigen Iteralfolge (der gewählten 

 Iterationsart) an, und die Wahl einer Bahnkurve ist überflüssig. 



D. Konvergenz. 



Wir nehmen jetzt an, dass f(x) einen Fixpunkt co besitzt, bei 

 dem ein Zweig die Entwicklung hat 



x x — co = (x — co) a (C + C ± (x — ù))+ ) 



worin a eine positive ganze Zahl ist. Ein solcher Punkt heisse 

 ein „regulärer Konvergenzpunkt zweiter Art 1 ' . 



Ich nehme weiter an, dass ein Kreis C um co existiert, in dem 

 (ausser co) keine weiteren kritischen Punkte liegen („isolierte?'" Fix- 

 punkt). Dies trifft bei unseren Beispielen zu. Wir können dann den 

 Kreis C so verengern, dass für alle Punkte x im Innern oder auf 

 dem Rand (mit Ausnahme von co) 



| x t — CO | < | x — CO | 



Verbinden wir ein bestimmtes x mit x 1 durch eine ganz innerhalb C 

 gelegene Bahn W , so gilt für die so definierte Iterationsart 



lim x = co für alle x innerhalb C. 



Bei einem Umlauf von x um co geht die absteigende Iteralfolge 

 x in eine andere über, die Bahn W x in W' x . Wir errichten 

 über der Kreisfläche C ein Riemann'sches Flächenstück, das 

 sich unendlich oft um den Punkt oj herumwindet und das ich 

 den ,, Windungskreis" C heisse. Jedem Punkt x dieser Fläche 

 entspricht dann eine einzige aufsteigende Iteralfolge, die gegen 



