Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 



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o) konvergiert. Beschreibt x die Randlinie T des Windungskreises, 

 so durchläuft x t eine ganz im Innern gelegene Linie 2\, die mit T 

 ein (unendlich gewundenes) Kinggebiet G begrenzt. G heisst ein 

 Fundamentalbereich der Iteration. Durchläuft x den Bereich G, so 



beschreibt x p den Bildbereich G p . Die Bereiche G, G v G 2 



füllen die Fläche C gerade einfach aus. Wir setzen nun die Fläche C 

 dadurch fort, dass wir G durch die inverse Funktion f {1) sukzessive 

 abbilden. Lassen wir x 1 den Bereich G durchlaufen, so erzeugt der 

 Punkt x (den wir uns mit flächebildender Materie belastet denken) 

 einen an G anschliessenden Bereich G_ v aus diesem entsteht analog 

 ein G_ 2 etc. Wo x an schon gebildete Fläche anstösst, schiebt sich 

 ein neues Blatt über das alte. Die Gesamtheit aller Bereiche G n bildet 

 eine unendlich-blättrige Fläche K (0 von folgenden Eigenschaften : 



1. K M besteht aus der Gesamtheit aller Punkte, deren auf- 

 steigende Iteralfolge nach a) konvergiert. Daher heisst K m der zu o) 

 gehörige Konvergenzbereich (der zugrunde gelegten Iterationsart I). 



2. J£ w enthält keine nicht-zerstückelnde Rückkehrschnitte in 

 seinem Innern noch kritische Punkte. Daher verhalten sich sämt- 

 liche Funktionen f.. auf K„ eindeutig. Jeder Punkt gehört einer 



' (n) wo <-> 



einzigen totalen Iteralfolge an. 



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Beispiel. x 1 = x* , x_ x = Yx 



Die kritischen Punkte sind und 

 oo, die zugleich reguläre Fixpunkte 

 zweiter Art sind. Verbindet man x 

 mit x x durch Bahnen W, W, W", 

 die den Nullpunkt keinmal, einmal 

 und zweimal umkreisen, so zeigt ein 

 positiver Umlauf von x, dass W" 

 äquivalent mit W ist, während W zu 

 W nicht-äquivalent ist. Jede andere 

 Bahn, die den Nullpunkt endlich oft 



umkreist, ist mit W oder W äquivalent. Es gibt also nur zwei Ite- 

 rationsarten, I und /'. 



Die aufsteigende Folge (bei beiden Arten) konvergiert gegen 

 oderoo, je nachdem |rr|^l. Das zu gehörige Konvergenzgebiet 

 K ist also der um sich windende, unendlichblättrige Einheitskreis. 

 Die absteigende Folge konvergiert für I gegen den Fixpunkt erster 

 Art (+ 1), für T gegen (— 1), wie man sich durch Rechnung überzeugt. 

 Konvergenzgebiet K 1 oder K_ x ist beidemal die ganze bei und oo 

 verzweigte logarithmische Windungsfläche (mit Ausnahme der 

 Punkte und oo). 



Fig. 1. 



