414 0. Spiess. 



E. Iteralsummen und Iteralprodukte. 



Seien (p{x), ty{x) analytische Funktionen, die sich in K a überall 

 rational verhalten und in der Umgebung von o> regulär sind. 

 Speziell sei 



(p(a)) = , îp((o) = 1 



Dann sind die Reihe und das Produkt 



Oû 



0(x) = yflxj , w{x) = 11 y{x p ) 







für alle Punkte von K^ konvergent und zwar gleichmässig für jedes 

 Gebiet, das mit seinen Randpunkten ganz innerhalb K m liegt ; und 

 $* sind analytische Funktionen, die in K^ eindeutig und bis auf Pole 

 regulär sind und daselbst den Funktionalgleichungen genügen 



0(x 1 ) = 0{x) + cp(x) , ®(x ± ) = &{x) • ty(x) 



Bei o) ist 0(w) = O , W((o)=l. 



Solche Iteralsummen und -Produkte, wie ich sie nenne, sind in 

 mehrerer Hinsicht bemerkenswert. Die Reihen konvergieren sehr 

 stark und dürfen gliedweis beliebig oft differenziert werden. Ist 

 K , was oft der Fall ist, mit dem Existenzbereich von oder W 

 identisch, so wird die i. A. unendlich vieldeutige Funktion durch 

 einen einzigen analytischen Ausdruck vollständig dargestellt. 



§2. 



A. Wir wenden uns jetzt zu der Axengleichung (2), die also fol- 

 gendes präzise Problem stellt. Gegeben ist eine Funktion fx der oben 

 angenommenen Art und für jeden Punkt x eines endlichen Gebiets 

 eine Bahn W x ; gesucht ist eine Funktion 0{x), die bei Fortsetzung 

 längs W , (was wir durch ein beigefügtes (W x ) andeuten), einen "Wert 

 0{x 1 ) annimmt, der die Gleichung erfüllt 



(2) 0(x i ) = a0{x) {WJ 

 Wir können sofort in der Funktion 



(3) 0Jjx) = lim\ log{x "- ^ 



eine Lösung angeben, die sich in der Umgebung von o) verhält wie 

 log [x — (o). In der Tat, setzt man 



x x - o) = (x — o)) a B(x) 



so folgt durch Iteration x = (x 1 — cof E(x x ) und hieraus 



