Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 415 



^ — = log{x -o)) + — logR{x) + -^ logRfa) + logB(x J 



er " er * 



In einem geeigneten Kreis C um w ist \H\ zwischen festen positiven 

 Zahlen enthalten, woraus folgt, dass die Reihe rechts für jö = oo gleich- 

 massig konvergiert. Es ist also 



log(x n - (o) °° l 



(3a) lim ^— = 0» = log (x - o>) + V — p logR(x) 



p=oo ar ~q er x 



eine Funktion der genannten Art. Dasls sie der Gleichung (2) get- 

 nügt, ist evident. Beschreibt x auf der Fläche K l0 einen geschlossenen 

 Weg V, so durchläuft x einen ebensolchen Weg, der von einem be- 

 stimmten Index an ganz innerhalb C liegt. Dabei geht @{xj in sich 

 über, und da <]>(x) = a~ p @(x ) ist, so folgt 



(log(x - 

 ^r~ 

 a p 



ist eine innerhalb des Konvergenzbereichs K m eindeutige und reguläre 

 Axe von f(x), die in der Umgebung von co eine Entwicklung besitzt 

 der Form 



<& i0 = log(x — o)) + reguläre Reihe. 



Sei jetzt 0(x) irgend eine (zu W x gehörige) Lösung von (2), die 

 wenigstens in einem Teil von K existiert. Wir können dann sagen 



Satz 2. Eine Axe $(%), die in der Nähe von co nicht beliebig 

 grosse Werte annimmt, ist identisch = 0. 



Denn ist 0(x) =r 0, so wächst | <D(x) \ = a p \ <D(x) | wegen a > 1 mit p 

 über alle Grenzen, wobei o) Häufungsstelle der x ist. 



Satz 3. Verhält sich W(x) bei o) wie ein Logarithmus, d.h., ist 

 daselbst = c ■ log(x — o)) + reg. Reihe, so stimmt @(x) 

 mit $Jx) bis auf einen konstanten Faktor überein. 



Denn alsdann ist auch W = — c0^ eine Axe, die aber bei o) regulär 

 und also nach Satz 2 = ist. Somit ist = c 0^. 



Jede zu W gehörige Axe von f{x) ist offenbar in der Form 



enthalten 



= 0^ . F 



wo F eine Lösung der Gleichung 



F( Xl ) = F{x) (W x ) 



d. h. ein Ring- bedeutet. Von diesen Funktionen erkennt man sofort 



