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Satz 4. Ein Ring ist entweder eine Konstante oder er hat in 

 co eine Stelle der Unbestimmtheit. 



Denn wegen F-{x ) = F{x) nimmt F in der Umgebung von co 

 jeden Wert, dessen F überhaupt fähig ist, unendlich oft an. 



B. Ich nehme jetzt an, dass wenigstens in einem Teil von K a 

 auch die absteigende Folge x geigen einen Fixpunkt a konvergiert, 

 und zwar soll dieser von gleicher Beschaffenheit sein wie co, also 



regulär, isoliert, und mit demselben Regulator a. Mit andern Worten 



i 



es verhalte sich x t — a wie (x — a) a oder x Lx — a wie (x — ccf. Die 



Funktion 



aP 1 



(3b) 0(x) = Um j—, r = -z—, r-: TÇ-TT- 



' p=oo lo 9K x -p- a ) log(x - a) + reg - Reihe 



ist dann ebenfalls eine Lösung der Gleichung (2), die sich auf einer 

 Biemann' sehen Fläche K a eindeutig und regulär verhält. 



Im folgenden mache ich zunächst von den Flächen K a , K a deren 

 Gestalt wir a priori nicht kennen, keinen Gebrauch, sondern deute x 

 als Punkt der Ebene. In Praxi findet man zunächst ein schlichtes 

 Gebiet G, das a und co zu Randpunkten hat und in dessen Innerem 

 die Iteralfolge (x ) beidseitig konvergiert. Wir besitzen nun in a , 

 w zwei Lösungen von (2), die sich bei a und co resp. verhalten wie 



- — -, r und log(x — co). Die Frage ist, welche Beziehungen diese 



beiden Axen zu einander haben. Könnte man zeigen, dass @ a 

 sich bei co verhält wie log(x — co), so würde nach Satz 3 folgen dass 

 @ a = c0 u wäre. Ich werde in diesem Abschnitt zeigen, dass dies 

 davon abhängt, ob eine gewisse Funktionalgleichung eine Lösung 

 besitzt, die bei a und co endlich bleibt. Im Fall der Funktionen 

 g, h, j lässt sich jene Gleichung durch eine ganze rationale Funktion 

 befriedigen, wodurch die Frage entschieden ist. Es ist praktisch 

 und entspricht auch dem historischen Gang, & a und & nicht direkt 

 unter sich, sondern beide mit einer dritten Axe zu vergleichen, was 

 auch zu interessanten analytischen Darstellungen führt. 



Da bei co und a die Entwicklungen gelten 



l 



x x - co = (x — co) a (c + • • • , x t - a = (x — a) a (d + ■ ■ ■) 



so ist in der Umgebung jener Punkte 



dx, x, - o) , , dxi x-i - a / 1 



- r A = - L — a+--- , resp. -t± = - — ( — + ■ 



ax x- <ti x ' L dx x- a \ a 



