Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 417 



Man kann daher (auf viele Arten) dem Wert von —r^- die folgende 

 Gestalt geben 



(41 . É^L = P foi) . ^) / P(a) = P((o) = \ 



^ dx P(x) a \ r(a) - 1 , r(<w) - a) 



Hierin bedeuten P(x), r(x) Funktionen, die (wenigstens im ersten 

 Blatt, falls sie mehrdeutig sind) bei a und co reguläre Entwicklungen 

 haben der Form 



/-v P=(x-a)(a + ■ ■ ■) resp. = (x — cS)(b + ■ ■ ■ ■) 



r = 1 + c (x — a) + • ■ ■ resp. = a + d Q (x — co) + ■ ■ ■ 



Bei den Funktionen g, h, j können wir für P, r ganze rationale 

 Funktionen wählen. Z. B. ist für 



_2\U dx t _ Xl {x\-l) (l + x)2 , 



X l~l+x ' dx " x(x*-l) 2 ' \P-v,<o-i,.a-*.) 



Nach § 1. E. existieren dann innerhalb G die Funktionen 



oo oo 



(6) ^>)=Z7^>) > ^m=JTw) 



1 p 



und genügen den Gleichungen 



( 7 ) Votei) = fa) • </>» ; v> a M = ^r y<l x ) 



Va 



Folglich genügt der Quotient — der Axengleichung 



/o\ V«( œ l) ^«0») 



^> , t/» sind bei den gleichnamigen Fixpunkten regulär, werden 

 aber bei den ungleichnamigen oo. Wir fragen nun nach der Be- 

 dingung dafür, dass jener Quotient sich verhält 



bei a wie - — T r , bei co wie loqix — co) 



log(x - a) * v ' 



Dann muss er nämlich nach Satz 3 mit jeder der Axen @ a , @ a bis 

 auf einen konstanten Faktor übereinstimmen. Nun folgt aus (8) 



und weiter wegen (4) (7) 



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