418 0. Spiess. 



d. A. H=P(x)(ip by V'a-V'ö V«) *** e*w -Km^ vow /"(»). 



Wenn nun z. B. ^ w bei a logarithmisch unendlich wird, so besitzt R 

 in # = a einen endlichen Wert und folglich ist nach Satz 5 



(9) R = P(x) (# ffl ^»' a - y' a y a ) = c = const. 

 Umgekehrt, wenn (9) gilt, schliesst man sofort auf die Entwicklungen 



( 9a ) -^-p^ö.m*- 4+ ■;■•■'' \ y a =Tk l °9( x -<*)+■'•' 



Die Frage ist also zurückgeführt auf die nach der Gültigkeit von (9). 

 Ich beweise nun auf zwei Arten den 



Satz 6. Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Be- 

 stehen von (9) ist die, dass die Funktionalgleichung 



(10) ^P,Q^-PQ= 2/2 ; 2 rr " ■ P l - ~ PP' 



eine Lösung Q(x) besitzt, für die 



(10a) Q(a) , Q(u>) endliche Werte haben. 



Hierin ist P 1 Q t geschrieben für P(x^), Qix^-, wie wir überhaupt im 

 Folgenden (p(xj durch (p abkürzen wollen. 



C. Erster Beweis. 



Differenziert man (9), so lässt sich das Resultat schreiben 



[W + QP a ] #. - KW + Q*l>J 1>. = o 



wo Q eine beliebige Funktion ist. Wählt man Q so, dass die erste 

 Klammer = ist, so verschwindet auch die zweite, d. h. es besteht 

 die Gleichung 



(11) Ptp" + P'ip' + Qtff = (für ip = ip a und = tp J 



Umgekehrt folgt aus (11 ) wieder (9). Ich zeige nun direkt, dass unter 

 der Annahme (10), (10a) die Funktionen (6) der Gl. (11) genügen. 

 Ich fasse die Gleichungen (7) zusammen in die eine 



(12) Vi = y * 



und differenziere zweimal unter Benützung von (4). Es folgt 



