Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 

 Pip' 



419 



PlV'i 



+ -.PV 



>^)^^7 



das 

 Hiezu addiert 



f£.CW +£«"* + 



2/' 



p> 



£(P1*'1)+Ql*l 





3 „ _ a 2 P rfPiQt 



jtt r 



£tfV)+ 



(/.*' 



^iOi 



gibt 



P + yP')t/> 



Gilt (11), so folgt hieraus (10) (10a). Umgekehrt, gilt (10), so ist 

 die innere Klammer rechts gleich Q. Setzt man noch für r nach (12) 



^—^ ein, so erhält man für die Funktion 



die Gleichung 



L=p-ip* [py" + py + <m 



r 



Für ip = ip a ist j*=l, L = L a , für ^=^ w ist ^ = a, P = P W zu 

 setzen, Z> , Z/ genügen also den Gleichungen 



(13) L a (x) = a*LjxJ = a 2p L a (xJ 



L M (x) = a 2 L^ (x,) = a 2 ^ LJxJ 



Wächst jetzt p ins Unendliche, so konvergiert x gegen a, x gegen 

 o). Nun sind ip , ip samt ihren Ableitungen in den gleichnamigen 

 Fixpunkten endlich, ebenso sind nach (10a) Q(a), Q((o) endlich. Somit 

 nähert sich der mit P multiplizierte Teil von L a , L w einem end- 

 lichen Grenzwert. P selbst verschwindet nach (5) in a, o in der 

 ersten Ordnung, und folglich verschwinden P(x), P(x ) resp. wie 



(x — a), {x - (o), d. h. wie (x —af , (x - (of • Somit ist sicher 



(14) lim a p P(x )=lim a p P{x) = Q 



Die rechte Seite von (13) wird also mit wachsendem p beliebig klein, 

 und somit ist identisch L = 0, L = 0, d. h. aber, ib , ip , erfüllen 

 Gleichung (11). 



D. Zweiter Beweis. 



Die Gleichungen (6) logarithmisch differenziert ergeben 



(15) 



Va 



2-\ r 



v» 



=y, 



