Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 421 



Der Ausdruck unter dem 2j ^ aDer nach (10) gleich 



was sich wegen r n ip a (x n ) = *p a (x n+1 ), -f V^xJ = tyjp n+l ) auf die Form 

 bringen lässt 



Die rechte Seite von (19) bekommt dadurch schliesslich die Gestalt 



-|-oo 



-oo 



Diese Summe hat aber den "Wert 0, falls u und u_ für p = oo 

 gegen Null konvergieren. Nun lässt sich 



U n= P nQn l P\( X n) l P\( X n) 



wegen = ie nachdem n = + p ist, in die i< orm bringen 



T 0} 



und also ist in der Tat nach (10a) und (14) Um u = lim u = 0. 



Damit ist Gl. (9) von neuem bewiesen und zugleich für die Kon- 

 stante c die merkwürdige Darstellung gefunden (nach (18)) 



-oo n 



E. Wir betrachten jetzt die Gl. (10), auf die die Frage nach 

 dem Zusammenhang von @ a , (Z> u also zurückkommt. Es wäre nun 

 leicht zu zeigen, dass in der Umgebung jedes der beiden Punkte a 

 und co je eine Lösung Q existiert, die sich daselbst regulär verhält. 

 Doch nützt uns dies nichts, da im allgemeinen doch nicht zu erweisen 

 ist, ob eine solche Lösung sich auch im andern Fixpunkt endlich ver- 

 hält, d. h. ob (10a) erfüllt ist. Ich werde aber jetzt zeigen, dass im 

 Fall der Funktionen g, h, j die Gleichung (10) eine ganze rationale 

 Funktion als Lösung besitzt, womit natürlich (10a) von selbst (er- 

 füllt ist. 



Wir wählen für P(x) diejenige ganze Funktion, welche die sämt- 

 lichen (endlichen) Verzweigungspunkte zu Wurzeln besitzt, die man 

 aus dem Schema in § 1 A. abliest. Man findet dann für die 3 Fälle : 



