Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 423 



Ich bemerke zu diesen Beweisen noch das Folgende. Die erste 

 Methode (C) enthält den Grundgedanken des Borchardt' 'sehen Ver- 

 suches. Man könnte auch so vorgehen, dass man die lineare Dif- 

 ferenzialgleichung für ip ersetzt durch die zugehörige Biccatische 



Gleichung für t = — und dann zeigt, dass dieser durch die Reihen 

 ° tp a 



(15) genügt wird. Das wäre der Beweis von Lohnstein, auf seine 



einfachste 'Form gebracht. Gedanklich einfacher wäre es übrigens, 



die Funktionen , ohne Vermittlung der xp. xp , direkt zu ver- 



CC 7 Oj ° ' lc / ' CO 



gleichen. Bezeichnet [0] die Schwarz'ische Derivierte von <Z> nach 

 x, so setze man [0 a ] = B a (x), [0 b) ] = RJx). Aus der Axengleichung 

 und den Eigenschaften der Operation [ j folgt dann, dass R a , R a 

 Lösungen der Funktionalgleichung sind 



(21) B(x)^^R(x i )+[x 1 ] 



welche an Stelle von (10) tritt. Im Fall unserer Beispiele g, h, j 

 wird dann R eine gebrochen-rationale Funktion, deren Auffindung 

 aber mühsamer ist als die der ganzen Funktion Q. Die Gleichung 

 (21) hat bereits Appell 9 ) zu verwandten Untersuchungen betrachtet, 

 doch bloss für die Umgebung eines einzigen Fixpunkts. 



A. Wir nehmen künftig an, dass für die Funktion f(x) die 

 Bedingungen von Satz 6 erfüllt sind. Dann ist also wegen (9a) 

 und Satz 3 



(22) -^ = ~ -Q^^ 1 -®« und also 

 ipco P (a>) w c « 



= • 



* P'(a)P'(co) « 



Wir führen nun an Stelle von a , io eine neue Funktion ein, 

 indem wir setzen 



(23) = -in0 =-^-r0 wo also 



(24) ä = -^ gesetzt ist 



existiert dann jedenfalls in einem Teil der Ebene, der diePunkte 

 a, o) im Innern enthält, und erleidet bei Umläufen um diese Punkte 

 die linearen Substitutionen 



9 ) Appell. Acta mathematica 15. 



