Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 425 



x definiert dann eine mögliche Lage des Fadens den zu x gehörigen 

 Umlauf Sq. Die einem Umlauf entsprechende lineare Substitution 

 soll mit demselben Zeichen benannt werden. 



Ferner bezeichne ich die Linien S 2 , S t 2 , die x mit (— X) und 



I — ) verbinden, als ,, halbe Umläufe" von X um und 1. Einem 



halben Umlauf von x entspricht ein ganzer Umlauf von x t um den- 

 selben Punkt. Dadurch entsteht aus der Gleichung <D(x) = $ ^x t ) : 



S i/ ^x) = iS ^x 1 ) = i-S 2^x) 



Die rechte Seite ist eine lineare Funktion von 0, also ist das Re- 

 sultat des halben Umlaufs S 2 die Substitution 



#o = i S (2) = {_ i ij 



Analog wird 8^ = \ S ± (2) = ( J \ ) 



was übrigens auch direkt aus dem logarithmischen Verhalten von 

 bei 0, 1 geschlossen werden könnte. Es gelten also die Gleichungen 



(26) 0(-x)=S o V2 0(x) ; ${^) = S; h $(x) 



Macht x den Umlauf 8 1} so führt {— x) den Umlauf S , aus. Die 

 erste Gleichung (26) geht dadurch über in 



S ml 0(- x) = So /2 S t 0(x) = So%S - 1,2 $(- x) 



Das Resultat des Umlaufs 8_ x auf ist also die Substitution 



q e 1/2 c e- 1/2 ß + 2h > 2h \ 

 o ml = o 9 OiO Q -\-2h, l-2h) 



Führt X dagegen S Q aus, so beschreibt — einen Umlauf um <x, der 



offenbar äquivalent ist mit S-^S^S^ . Die zweite Gl. (26) wird 

 somit 



S^S; 1 * (i) = S; /2 S o 0(x) = 8^8.8^0^) 



woraus 



c _o- 1/2 c G 1/2 /l + 2Ä, 2A2 \ 

 ^oo-^i ^o^i =[ _ 2 , l-2h) 



Andrerseits ist aber 



.i .i-i /1-6A + 4A», 4A-4ä«\ 

 ^oc-^i "o ^_i = \2-2/i ,1 -2/;/ 



Die Vergleichung der beiden Darstellungen von 8^ gibt h = 2 und 

 damit berechnet man 



