Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 429 



Aus den bekannten Substitutionen S , S folgt damit zunächst 



Q (l+2h, 2h\ 11 -2h, 2/A 



b. Q = \- 2h, 1 - 2h) > ^i = \- 2, 1 + 2h) 



Ich berechne nun auf 2 Arten $., um 7i zu bekommen. Dem 

 "Weg # für # entspricht S i für # 1# Dies angewandt auf die Gl. 

 0(x 1 ) = 2 @(x) liefert 



Führt X aber $. aus, so beschreibt x t eine Schleife um 1, die 

 äquivalent ist dem Umlauf S~ 8 t S '. So findet man 



Die Vergleichung ergibt h = 4. Durch abwechselnde Anwendung von 

 (29) (30) ergeben sich jetzt ohne Mühe die folgenden 10 Sub- 

 stitutionen : 



^o == (_2l)' ^ = (oi)' S -Q = \-8-y> S i = {-2 9J' 



o / 25, 32\ « / 9, 16\ q _( 2b, 16\ a _ (- 23, 72\ 

 ^-1 = \- 18, - 23 ) ' *>t ~ {- 4, - l) ' "^ ~ i- 12, - 23 j ' ö -q' ~ \- 8, 25 j' 



c _/ 49, 72\ _/-47, 128\ 



o p , - \_ 32? _ 47J , £00 ~ \_ 18, 49j 



die sich übrigens als zweite, vierte oder achte Potenzen einfacherer 

 Substitutionen erweisen. Es sind Modulsubstitutionen einer Gruppe, 

 die durch die Kongruenzen 



a = ö = l, ß = 0, y = 0, 2, 4 oder 6 (mod 8) 



charakterisiert ist. Für die Konstante c ergibt sich 



16o2 



c = — — 



n 



B. Wir haben im Vorhergehenden für jede der Funktionen g, Irt, j 

 eine Lösung der Gleichung (2) bestimmt, unter Zugrundlegung einer 

 ganz bestimmten Iterationsart, die ich die Hauptart nenne. Diese 

 Lösung gestattet nun das Problem auch für jede andere Iterationsart 

 zu lösen. Ich muss mich indess damit begnügen, für das eine Beispiel 

 g(x) die wesentlichen Resultate zu skizzieren. Ist V eine die Punkte 

 x, x ± verbindende, von W verschiedene Bahn, so kann man V aue W 

 und einem geschlossenen Weg 8 zusammensetzen in der Form V= SW. 

 Jedem S entspricht einerseits eine Iteralfolge (x n ), anderseits eine 



Substitution ( a Ä) der durch (26) definierten Substitutionsgruppe. 

 Ich gehe kurz auf die folgenden 3 Fragen ein : 



