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1. Wann sind die zu zwei Substitutionen S, S' gehörigen Iteral- 

 folgen im Sinn von § 1 C. äquivalent ? 



2. Existiert zu jeder Iterationsart von g(x) eine Axe? 



3. Was läset sich über die Konvergenz einer zu 8 gehörigen Iteral- 

 folge (x ) aussagen? 



Ad 1. Soll die Folge (%), die aus der Bahn V = SW entspringt, 

 äquivalent sein der Folge, die zu V = S'W gehört, so muss ein 

 geschlossener Weg U existieren, so dass, wenn x den Umlauf U 

 ausführt (wobei x 1 einen Umlauf U x beschreibt), die (xj in die (x' n ) 



übergehen. M. a. W., die geschlossene Linie U~ VU X V umschliesst 

 keinen kritischen Punkt. Lässt man also in &(%) die Variable das 

 einemal die Bahn V\ das andremal U VU X beschreiben, so muss 

 der Effekt dieselbe lineare Funktion von @{x x ) sein. Beachtet man, 

 dass für die Substitutionen U, U x die Beziehung gilt : U x @(x x ) = 2U$(x) 



und setzt noch U=( a J\, so erhält man die Relation 



(2a ß'\ _(ab\' 1 (2aß\ (a b\ 

 [2 Y 'ô')-[cdj \2yô)[cd) 



Wenn also in der zu g{x) gehörigen Substitutionsgruppe zu den ge- 

 gebenen 8, 8' sich eine dritte Substitution V finden lässt, die dieser 

 Relation genügt, so definieren 8, S' dieselbe Iterationsart. Die Dis- 

 kussion dieser Beziehung führt auf den einfachen 



Satz 7. „Die Bahnen SW, S'W sind äquivalent für die Funktion g(x), 

 wenn die quadratischen Formen 



(ß', 2a - Ô', - 2y) (ß, 2a- â, - 2y) 



im Sinn der Zahlentheorie eigentlich äquivalent sind. 



Ad 2. Zu jeder Iterationsart läset sich eine Axe angeben in Ge- 

 stalt einer linearen Funktion der zur Hauptart gehörigen Axe @(x). 

 Bezeichnet man den Wert von in x x beim Übergang über V = SW 

 mit @*(x x ), so gilt 



o , 1 r»/ \ $0*0 - °i r\i \ $*0»i) - 0\ 



Setzt man also Q(x) = -^i — -, Q(x, ) = ' — l 

 v ' Q>(x) - o 2 1/ @*(x x ) - o 2 



wo a x a 2 die Wurzeln der Gleichung 



2y g 2 + (ô — 2a) a — ß = sind, so ist 



Q(x x ) = aÜ(x) ; a = J^= , (s = 2a + ô) 



