Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 431 



Der Regulator a ist ausser bei der Hauptart (s = 3) von 2 verschieden. 

 Da aber a bloss von s abhängt, so können 2 zu verschiedenen 

 Iterationen gehörige Axen Q, ß* denselben Regulator besitzen. 

 Der Quotient i3*: Q ist aber dann natürlich kein Ring. 



Ad 3. Im Fall 5=1 sind a x , o 2 konjugiert komplexe Zahlen 



- 3 + 1/- 7 ..." 

 und a = — =4- eine „irrationale" Einheitswurzel. Daher liegen 



die zu einem festen Wert von x gehörigen Punkte z n = Q(xJ in 

 der ^-Ebene auf einem Kreis um den Nullpunkt, den sie überall 

 dicht bedecken. Den Kreisen um z = entspricht in der «/-Ebene 

 {y = 0(x)) das Kreisbüschel mit den Grundpunkten o x , g 2 . Dem in 

 der oberen Halbebene liegenden Punkt g 1 , für den also alle (P(xJ = a t 

 sind, entspricht im Innern von K a ein Punkt X, für den alle • x n = X 

 sind. Dies muss also einer der beiden Fixpunkte vierter Art 



0) = =^r sein, die in § 1. B. erwähnt sind. Da für ein festes 



X (das von diesen beiden Punkten verschieden ist) die Punkte y n = $(x n ) 

 einen ganz in die obere Halbebene fallenden Kreis dicht überdecken, 

 so können auch ihre Bildpunkte in K m , welche die Iteralfolge (x n ) 

 bilden, nach keiner Seite konvergieren, sondern sie bedecken eine 

 Kurve überall dicht, die einen der genannten Fixpunkte vierter Art 

 umschliesst. Damit ist also für die Funktion g(x) eine Iterationsart 

 nachgewiesen, deren Itérai folgen in keinem Punkt konvergieren. 



Im Fall s > 1 liegen die Punkte y auf einem zur reellen Axe 

 senkrechten Halbkreis und konvergieren für n = + <=< gegen die End- 

 punkte desselben. Das Verhalten der entsprechenden Punkte (sc ) 

 ist dann nicht ohne weiteres zu entscheiden. 



Die Methode, durch welche in den vorhergehenden Paragraphen 

 die Natur der Funktion erschlossen wurde, bildet den Abschluss 

 einer Gedankenreihe, welche in den Untersuchungen von Gauss über 

 das arithmetisch-geometrische Mittel ihren Ursprung nahm. Sie ist 

 charakterisiert durch die Zuziehung einer linearen Differenzial- 

 gleichung zweiter Ordnung (die auch bei unserem „zweiten Beweis" 

 in § 2 nur formell umgangen wird). Zwar spielen die Eigenschaften 

 dieser Differenzialgleichung weiterhin keine Rolle, nur der Nach- 

 weis ihrer Existenz muss, gewissermassen nebenbei, erbracht werden. 

 Der Angelpunkt der Theorie und ihre einzige Schwierigkeit liegt 

 nämlich in dem Nachweis, dass die aus der aufsteigenden Iteralfolge 



