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entspringende Lösung <P W sich auch beim Konvergenzpunkt a der 

 absteigenden Folge wie ein (reziproker) Logarithmus verhält, und 

 hiezu eben bedarf es der zweimaligen Differenziation. So natürlich 

 sich nach unserer Darstellung auch die Differenzialgleichung dar- 

 bietet, so erscheint doch ihr Eingreifen in einer sonst ganz auf den 

 Iterationsprozess aufgebauten Theorie als Schönheitsfehler. Diese 

 ganze Theorie gewinnt nun an Klarheit, dadurch, dass man sie mit der 

 Theorie der konformen Abbildung in Verbindung bringt. Dies ge- 

 schieht durch die nachfolgenden allgemeinen Sätze, die sich unmittel- 

 bar an die Betrachtungen von § 1 anschliessen. Die vorhin genannte 

 Schwierigkeit wird damit zurückgeführt auf die prinzipiell wichtige 

 Frage nach der Gestalt des Konvergenzbereichs K a . Könnte man 

 bei unseren Beispielen zeigen, dass K a keine Randlinien besitzt, d. h. 

 dass die Iteralfolge (x ) bei beliebiger Bewegung von x konvergent 

 bleibt, so würde der linearpolymorphe Charakter von W sich ohne 

 weiteres ergeben. Zur Zeit kann jener Nachweis freilich erst ge- 

 leistet werden (durch das Spiegelungsprinzip), nachdem die Gruppe 

 der Modulsubstitutionen bereits gefunden ist. 



Ich nehme an, der Punkt co sei ein regulärer Konvergenzpimkt 

 erster oder zweiter Art, d. h. ein Zweig von f(x) habe in seiner Um- 

 gebung eine der beiden Entwicklungen 



I x 1 - co = a(x — ct))(l + — ) | a \ < 1 



II x 1 — co = (x — cof (c + ■ • ■) a = ganze positive Zahl 



In jedem Fall existiert nach Koenigs und Grévy 10 ) eine Lösung der 

 Axengleichung, nämlich 



/ X - Ù) \ 



I (#) = lim l — = {x - co)(l + reg. Reihe) 



ß = ooy a p J 



(log{x - a>)\ i 

 II w (#) = Um ^— — = — logix - co) + reg. Reihe 



p = <x,\ i ■ a p I l 



Ich nehme weiter an, dass co „isoliert", d. h. keine Häufungs- 

 stelle von kritischen Punkten sei. Dann kann in der Umgebung von 

 co ein (im Fall I schlichtes, im Fall II unendlich oft gewundenes) 

 Ringgebiet G definiert werden, das von kritischen Punkten frei ist 

 und das die Eigenschaft hat, dass von jeder gegen co konvergierenden 

 Iteralfolge x n gerade ein Punkt zu G gehört (Fundamentalbereich 

 der Iteration). Die durch iterierte Abbildung (mittelst / und /) von 

 G entstehenden Gebiete G n erzeugen ein Flächenstück K^, das 

 „zu co gehörige Konvergenzgebiet" . K w enthält in seinem Innern 



10 ) 1. c. 



