Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 433 



keine kritischen Punkte (auch oj wird im Fall II als Randpunkt be- 

 trachtet). Daher sind die sämtlichen Funktionen x n innerhalb K 0} 

 eindeutig und einwertig. Diese Eigenschaften übertragen sich nun 

 auf die Funktion W . Dass $> w eindeutig ist auf der Fläche K a folgt 

 sofort aus ihrer Definition (siehe § 1. D). Ich beweise nun weiter 



Satz 8. Die Funktion <P (Ù nimmt innerhalb ÜT W jeden Wert 

 nur einmal an. 



Angenommen es wäre W (£) = $Jj]), wo £; r\ zwei verschiedene 

 Punkte von K a bedeuten (deren Projektionen in der Ebene natür- 

 lich nicht notwendig auch verschieden sind), so folgt aus der Axen- 

 gleichung, dass für jedes p 



#«,(£*) = # ö fap) w0 auch i P ^% 



Da die £ , rj gegen œ konvergieren, so gibt es also in be- 

 liebiger Nähe von co Punkte x, x', für welche die Differenz @(x) - @{x') 

 gleich Null ist. 



0(x) — 0(x') 

 Im Fall I ist aber der Quotient ; — in genügend kleiner 



Umgebung von o) beliebig wenig von 1 verschieden, kann also nicht 

 = werden. 



Im Fall II ist e ^ = (x — (o)(y + ), (y 4 1 0) und also in ge- 

 nügender Nähe von o) aus demselben Grunde einwertig, q. e. d. 



Damit ergibt sich jetzt der wichtige 



Satz; 9. Durch die Funktion y = @Jx) wird das Innere der 

 Fläche R a umkehrbar eindeutig und konform abgebildet 



im Fall I : auf die schlichte Vollebene iexcl. den Punkt oo ) 

 im Fall II : auf die obere Halbebene (excl. die reelle Axe). 

 Beweis. I. Ein Kreis C um a>, der ganz in ÜT W liegt, wird durch 

 0{x) auf ein einfach zusammenhängendes, schlichtes Gebiet F der 

 |/-Ebene abgebildet, das den Nullpunkt im Innern enthält. Sei y 

 ein beliebiger endlicher Punkt, so gibt es eine positive Zahl p, für 

 die der Punkt y = a p y innerhalb F fällt (weil \a\ < 1). Diesem 

 y entspricht eindeutig ein Punkt x innerhalb C, für den &(x) = y 

 ist. Dann existiert aber in K der Punkt X , für den <P(x) = a' p , 



0) p J N p / 



${$) = a~ p y =y ist. Also nimmt in der Tat @(x) in K a jeden end- 

 lichen Wert gerade einmal an. 



II. Der Windungskreis G wird durch den logarithmischen Teil 

 von w abgebildet auf den Teil der Ebene oberhalb einer Parallelen 



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