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zur reellen Axe, durch die Funktion 0^ also auf ein Gebiet P, das 

 sich von jenem mit abnehmendem C beliebig wenig unterscheidet. 

 Jedenfalls lässt sich in der oberen Halbebene eine Parallele zur 

 reellen Axe ziehen, so dass der obere Teil der Ebene (excl. oo) ganz 

 zu P gehört. Ist y ein beliebiger Punkt der oberen Halbebene, 

 so gibt es einen Exponenten p, für den y = a p y in Z 7 liegt (da a 

 reell > 1). Ist 0{x) = y so ist 0(x ) = y, womit der Satz bewiesen ist. 



Wir betrachten jetzt die Umkehrfunktion x = 0(y), über welche 

 wir sofort folgende Aussagen machen können. 



Im Fall I gilt: 



Sat ! z 9. 0(y) ist eine in der ganzen Ebene eindeutige ana- 

 lytische Funktion, die höchstens im Punkt oo eine wesentlich sin- 

 gulare Stelle besitzt. Je nachdem also der Punkt x = oo innerer 

 Punkt von ÜT W ist oder nicht, ist 0{y) eine ganze oder eine mero- 

 morphe Funktion. Sie genügt der Gl. 



(32) ~0(ay) = fW{y) 



d. h. die Gleichung x x = f{x) lässt sich dadurch uniformisieren, dass 

 man setzt x = 0{y), x x = 0(ay). 



Anmerkung. Einen Konvergenzpunkt (o kann man mit einem 

 Kreis C umgeben, in dem nicht nur die Reihe für x ls sondern auch 

 die j9-mal iterierte Reihe konvergiert. Wenn nun <y Häufungsstelle 

 kritischer Punkte ist, so können dies nur Verzweigungspunkte der 

 inversen Funktion / sein. Ist also f(x) eine eindeutige, speziell 

 eine rationale Funktion, so ist jeder Konvergenzpunkt von f sicher 

 isoliert und folglich die zugehörige Funktion (im Fall I) i. A. 

 meromorph. Diesen Spezialfall des obigen Satzes hat bereits Poin- 

 carê 11 ) bemerkt und in anderer Richtung verallgemeinert. 



Im Fall II ist nach Satz 8 0(y) innerhalb der oberen Halb- 

 ebene eindeutig und bis auf Pole regulär. Was das Verhalten auf 

 der reellen Axe betrifft, so sind 2 Möglichkeiten vorhanden. Besitzt 

 if w Randlinien, über die man 0(x) fortsetzen kann, so lässt sich auch 



0{y) in die untere Halbebene fortsetzen und man kann mit Hilfe 

 des Spiegelungsprinzips weitere Schlüsse ziehen. Ist aber 0(x) 

 nicht fortsetzbar, so ist die reelle Axe für 0(y) natürliche Grenze. 

 Speziell gilt 



Satz 10. Ist K s bloss von diskreten Punkten oder offenen 

 Linien begrenzt, so ist der Existenzbereich von 0(y) die obere Halb- 

 ") Poincaré. Journal de Math. (4) 6. 1890. 



