Eine Klasse von Funktionalgleichungen. 435 



ebene. besitzt im Innern derselben den Charakter einer ratio- 

 nalen Funktion, ist um 2n periodisch, und genügt der Gleichung (32). 



(Ich bemerke, dass auch für isolierte Fixpunkte dritter Art 

 analoge Sätze existieren. Bei nicht-isolierten Fixpunkten sind hin- 

 gegen die Funktionen nicht mehr eindeutig.) 



In allen Fällen, wo man nun die Gestalt der Konvergenzbereiche 

 feststellen kann, lassen sich mittelst der Sätze über konforme Ab- 

 bildung weitere Aufschlüsse gewinnen. Zum Beispiel : 



1. Die Theorie der Funktionen g, h, j wird sehr einfach, sobald 

 man weiss, dass der Bereich K l0 keine Handlinien besitzt. Man 

 sieht dann leicht ein, dass die Fläche K a regulär-verzweigt ist, 

 woraus sich der linear-polymorphe Charakter von @(x) von selbst 

 ergibt. Die Substitutionen S findet man mit der Methode von 

 § 3 A. 



2. Kennt man 2 isolierte Konvergenzpunkte a und co der gleichen 

 Art und kann man zeigen, dass die zugehörigen Gebiete K a , K a 

 identisch sind, so folgt, dass jede der Axen & C( , m eine lineare 

 Funktion der andern ist. Denn durch die Gleichungen y = w (x/, 

 y = $ a ( x ) wird die ganze resp. die halbe y- Ebene ein-eindeutig 

 und konform auf sich selbst bezogen. (<cc und co können entweder 

 „unterer" und „oberer" Konvergenzpunkt derselben Iteralfolge 

 sein oder zu verschiedenen Iterationsarten derselben oder ver- 

 schiedener Funktionen / gehören.) 



3. Aehnliche Schlüsse können gemacht werden falls co von der 

 ersten, a von der zweiten Art ist und K a ganz zu K a gehört. 



Man betrachte etwa das Beispiel X x =Vx, für welche die Kon- 

 vergenzgebiete K , K^ das Innere resp. Aeussere des Einheits- 

 kreises (unendlich oft) überdecken und sich zur logarithmischen 

 Windungsfläche K t ergänzen. Es ist hier <P X = # = 0^ = log X. 



Die Frage nach der Begrenzung der Bereiche K f0 gehört in das 

 Gebiet des Picard'schen Satzes. Ein Fortschritt in dieser Richtung 

 wird also auch der vorliegenden Theorie zugute kommen. 



Manuskript eingegangen den 17. März 1917. 



