10 BRODÉN, ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLErCHüNGEN. 



Zu bemerken ist noch, dass die Gruppen und in der 

 Weise isomorph sind, dass jedem /I-Substitution eine völlig be- 

 stimmte ©-Substitution entspricht (obgleich nicht nothwendig 

 umgekehrt). 



Dies alles gesetzt, ordne man nach irgend einer Regel die 



(abzählbar unendlich vielen) ,9 -Substitutionen in eine einfache 



Reihe 



Ä„i] , S^ri , . . . SyT^ . . . , 



bezeichne die entsprechenden 0-Substitutionen mit 



TT T 



und bilde n Reihen der Form 



wo m. eine ganze Zahl ^ 2 ist, die i/j rationale Functionen, 

 welche dieselben Bedingungen, wie in den Poincaré' sehen 0- 

 und ^-Reihen, erfüllen sollen. Hier ist jetzt jedes Glied eine ein- 

 deutig bestimmte Grösse. Und es lässt sich zeigen, dass sobald 

 die absoluten Beträge der Grössen p^ (welche die Gruppe ^ 

 näher bestimmen) oberhalb einer von den bestimmenden Ele- 

 menten der Gruppe abhängigen Grenze P liegen, die n Reihen 

 Xi für j ij I < 1 convergiren, nur mit Ausnahme für eine ij-Menge, 

 welche im Inneren des Kreises j »j | = 1 keine Häufungsstellen 

 hat. Von wesentlicher Bedeutung beim Beweise hierfür ist 

 einerseits der oben genannte Hilfssatz, andererseits die Eigen- 

 schaft der Gruppe F (durch deren Spaltung J entsteht) in der 

 -s-Ebene eigentlich discontinuirlich zu sein. Wenn man endlich 

 die Reihen /^ durch zugehörige PoiNCARE'sche 0-Reihen dividirt, 

 so bilden die n Quotienten, als Functionen von a; betrachtet, 

 ein System von Functionen y^ ...?/« mit den anfangs verlangten 

 Eigenschaften (oder richtiger: man erhält die zur unzerschnittenen 

 ^-Ebene gehörenden unendlich vieldeutigen Functionen, welche 

 den verlangten, zur zerschnittenen Ebene gehörenden eindeutigen 

 t/i entsprechen) ganz wie bei den ^-Reihen in dem Falle, wo die- 



