6 BRODÉN, ÜBER LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 



leiden, sonst aber im Endlichen sich überallwie rationale Func- 

 tionen verhalten (meroraorph sind). 



Dies Problem geht in das RiEMANN'sche über, wenn man 

 die Forderungen hinzufügt, dass die v Functionen an den Stellen 

 e^ . . . e.fj sowie auch für ea + i = °° den »Charakter der Bestimmt- 

 heit» haben sollen, und überdies an allen von den e.i verschie- 

 denen Stellen sich wie ganze rationale Functionen verhalten 

 (holomorph sind). 



Wenn Functionen überhaupt existiren, welche den Forde- 

 rungen der erstgenannten Aufgabe genügen, so bilden sie ein 

 Fundamentalsystem von Integralen einer linearen homogenen 

 Differentialgleichung w:ter Ordnung mit eindeutigen Coefficienten. 

 Im RiEMANN'schen Falle sind diese Coefficienten rational, und 

 überdies gehört die Differentialgleichung »zur FuCHs'schen Klasse». 



Die Lösbarkeit des RiEMANN'schen Problems ist bisher nur 

 unter sehr wesentlichen Beschränkungen dargethan worden, indem 

 Herr L. Schlesinger zeigte, dass die Aufgabe immer Lösungen 

 besitzt, wenn die Wurzeln der zu den Substitutionen Aj . . . A^ 

 und der Umlaufssubstitution A„+i gehörenden Fundamental- 

 gleichungen durchgehends den absoluten Betrag Eins haben ^) 

 (welche Bedingungen Herr Schlesinger kurz als die »Conver- 

 genzbedingungen» bezeichnet, da sein Beweis darauf beruht, dass 

 im genannten Falle gewisse PoiNCARE'sche ^-Reihen convergiren). 

 Die jetzt fragliche Untersuchung bezieht sich, jedenfalls in erster 

 Hand, nicht auf das ursprüngliche RiEMANN'sche Problem, sondern 

 auf die erwähnte, weniger verlangende Aufgabe, und resultirt in 

 der That darin, dass die Frage nach der Lösbarkeit (bez. der 

 Lösung) dieser Aufgabe (bei beliebigem n) sich auf eine gewisse, 

 unten näher angegebene Frage für den Fall ?i = 2 reduciren lässt. 



2. Für o loxodromische oder hyperbolische lineare Sub- 

 stitutionen 



1) Man sehe Handbucli d. Theorie d. liu. Diff.-Gl. II, 2, p. 382 ff., oder 

 auch Crelle's Journal Bd. 123, p. 138 ff. 



