208 AVIÖERT, QUELQUES THÉORÉMES SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES. 



Dans ce qui suit j'appellerai »fonctions G-» toutes les fonctions 

 entieres satisfaisant ä l'une ou l'autre des rleux conditions équi- 

 valentes (1.) et (2.), ce qui nie pennet d'enoncer plus nettenient 

 les resultats. 



On s'aper^oit sans difficulté que l'equation (1.) peut étre 

 remplacée par la suivante 



(1 bis.) I G{x)\<e'"-, r>r' 



puisque la quantité a est arbitraire. Maintenant je suis par- 

 venu a un théoreine lequel peut étre regardé comme la réci- 

 proque de Tinégalité (1 bis.), å savoir: Soit une fonction G et un 

 nomhre positif «, tel petit qiion le veut. Älors Vinégalité 



(3.) \G{o:)\>e—^' 



aura lieu pour des valeurs de r au dela de toute limite quand 

 la variable x parcourt un vecteur quelconque. Etablir ce resul- 

 tat sera l'objet principal du present travail. 



Je commencerai par démontrer un théoréme auxiliaire qui 

 presentera peut-étre aussi quelque intérét. Theoreme: En dé- 

 signant toujours par G{x) et G(x) des fonctions G, la serie 



t 



\n 



représente une fonction entiere de la forme 



e''G{x) . 



Inversement, étant donnée G{x), il existe une seule fonction G{x) 

 teile que 



r 



(4.) y^a;« = e-Gix). 



J'en ai donné dans mes le9ons ä TUniversité pendant ce semestre une demonstra- 

 tion tres simple en m'appuyant sur les premiers resultats trouvés par M. Hada- 

 mard (Journal de Math. 1893). On trouvera ä la fin de ces pages une autre 

 demonstration qui se rattache, comme la présente recherche, å Tintégrale fameuse 

 d'ABEL-LAPLACE sous la forme généralisée considérée par MM. Poincaré et Borel. 



