210 WIGERT, QUELQUES TIIÉORÉMES SUR LES FUNCTIONS ENTIÉRES. 



et par suite 



n=0 



D'abord il est facile de voir que la serie 'SArHy(x) définit 

 une fonction G. Nous avons en efFet 



OO 00 '' CO 



oü 



CO 



Clji = ^^y-^,j ■ 



V = II 



Fixons ensuite un nombre positif e, tel petit qii'on le veut. 

 D'apres l'hypothese faite sur la fonction 6^(t^•), on peut assigner 

 un entier 7i tel que 



\M<{^'.-. 



^71. 



On en conclut 



, , 2"-! V^/'i\'' •2"-^£" 



(1 — «) \n 



V = 11 



ou bien 



Vi — f. ^ I- 



et par conséquent 



n 



lim n \l\ a„ \ = 0. 



?t = co 



La demonstration de la proposition inverse n'offre pas non 

 plus de difficulté. Partons de la serie 



CO n 



G(a:) = 'S unX" ; lim 7i |/| a^ \ = 



71 = 



et formons le produit 



OO 00 OO 



e^G{x) = \ T-- \ arX'' = \ ' l'n^C^' 



