212 AVIGERT, QUELQUES THÉORÉMES SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES. 



II résulte de notre hypothese sur la fonction G(x) que l'inte- 

 grale f(x) sera convergente pour chaque valeur de a; appartenant 



ä l'intervalle 



1 



1 < A- < :.- 



1 — a 



Or, d'apres un beau théoreme du å M. Phragmén,^) le vrait 

 domaine de convergence de l'integrale (8.) est constitué par le 

 pohjgone de sommahilité '^) de M. BoREL relatif å la fonction f{x), 

 D'autre part, on aura 



n = 



et cette serie représente une fonction entiére de -z — — , couime 



i — A' 



je Tai démontré dans mon travail cité plusieurs fois. Le point 



o; = 1 étant nécessairement singulier pour la fonction f{x), nous 



sommes ainsi parvenus au resultat impossible que l'integrale (8.) 



doit étre convergente en dehors du polygone de M. Borel. Notre 



théoreme est donc démontré. 



Voyons comment se rattache cette proposition aux resultats 



analogues trouvés préalablement. Désignons en effet par ^ 



Vexposant de convergence ^) de la fonction entiére G{oi). D'apré& 



un théoreme de M. Hadamard Tinégalité 



\G{x)\>e-^-^-'' 



sera satisfaite sur une intinité de cercles de rayons infiniment crois- 

 sants, £ étant un nombre positif arbitraire. De plus, pour une 

 fonction G on aura visiblement ^ < 1. On voit par la qu'en sup- 

 posant ^ < 1 , le resultat trouvé par moi devient une conséquence 

 du théoreme de M. Hadamard. Dans le cas ou ^ = 1 , au con- 

 traire, la limite inférieure de | G{a;) \ , fournie par ce théoreme, 

 est d'un ordre de grandeur infiniment petit par rapport a e-«''. 



*) Comptes Rendus 1901. 



^) Cf. p. ex. Borel: Le9ons sur les series divergentes. 



2) Pour ce qui concerne le nombre o et le théoreme de M. Hadamard, on 

 consultera p. ex. Boeel: Le9ons sur les fonctions entiéres. 



