ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1902, N:0 6. 21o 



Avant de terminer, je voudrais donner encore une applica- 

 tion de Tintégrale remarquable (8.), oii plutöt d'une integrale 

 un peu plus generale. II s'agit de la demonstration du théoreme 

 énoncé pag. 1, uote. 



Soit en effet H{x) une fonction entiére, et supposons d'abord 

 que Tinégalité 



|Zr(.»)|<g"'^ r-^r' 



ait lieu pour un vecteur quelconque, ce qui revient ä dire que 

 Tintégrale 



(9.) Je-"'<'H(a^dr 



o 



sera convergente pour toute valeur positive de a, quel que soit 



1 'argument ß de la variable .?;. Il en résulte que Tintégrale 



(10.) H{.t) = (e- ^^ H{xoj)dio 



o 



définit une fonction entiére de x, ce qu'on voit aisément en 

 récrivant sous la forme 



(10 bis.) - I e~l^/ H{éhu)dio. 



o 

 Or, d'apres des formules connues dans la théorie de la fonction 

 r, nous avons 



CO 03 



H{x) = i v a,,r\^y^ , si H{x) = V a,,x- 

 et de plus 



lim ^-^-^ — - = ^ 



n 'J (ge) d 



ce qui montre bien que /f(x) ne peut pas étre une fonction en- 

 tiére, ä moins que la condition 



(11.) lim ni' V|a«| = <> 



n = co 



ne soit pas satisfaite. 



