214 WIGERT, QUELQUES THÉORÉMES SUR LES FONCTIONS ENTIÉRES. 



II nous reste a démontrer la proposition réciproque, selon 

 laquelle Féquation (11.) entraine celle-ci 



(12.) lim g-«'''|//(.r)| = 0. 



Sous cette hypothese //(.''') devient uiie fonction entiére, done, 

 1'intégrale (9.) sera convergente pour cliaque valeur positive de a, 

 quand la variable .?• parcourt un vecteur quelconque. Or, l'iii- 

 tégrale 



00 00 



n = 1 



étant aussi une fonction entiere, on établit de méme la conver- 

 gence de 



00 



o 

 pour toute valeur positive de a. Nous avons de plus 



00 ca 



i e - «'-^ H(x)T'i -Hlr = — i e- "'-^H'ix^dr — — Y\me- «'•Wix) 



J CCQj «?r==o 



O o 



et la seconde integrale sera nécessairement convergente, puisque 

 la dérivée H'{x) satisfait aussi a la condition (11.) Par con- 

 séquent 



lim e-'"'^H{x) 



r = CO 



est une quantité finie laquelle ne saurait avoir aucune valeur 

 différente de zéro, å cause de la grandeur arbitraire du nombre a. 

 Le théoréme est donc compietement démontré. 



