292 OSEEN, OM ETT FALL AF HVIRPVBLRÖRELSE I EN VÄTSKA. ' 



o' är del tillhörande värdet på hvirfvelintensiteten och dco' är 

 ett närliggande element af hvirfveltrådens tvärsnitt. Vi ha: 



j {xu + t/v) a'dio' = 

 [sin {e + f — e — cp) — (e — e) cos (e + f — e — cfi)] 



^3 ■ 



raaa'dtüdcü'de 



Den sista integralen är emellertid == O , ty dess elementer taga 

 två och två ut hvarandra. Mot hvarje element: e = e + u , a, 

 (f , e , r , f svarar nämligen ett element: e = e — u , cc , f , e , 

 r , q) . Dessa båda element äro numeriskt lika och ha motsatta 

 tecken. Vi ha alltså: 



J (xii + yn) o'dto' = 1 -^ o'dco' = O . 



Då för hvarje hvirfveltråd a'dco' är konstant, oberoende af t , så 

 följer af denna formel: 



J r-o'dco' = konst. 

 Enligt den nämnda satsen af Helmholtz är vidare: 



j o'dct)' = konst. 



Till våra förutsättningar om hvirfveltrådens beskaffenhet vid den 

 till utgångspunkt valda tiden hörde, att a' skulle ha samma 

 tecken i alla punkter på tvärsnittet. Definiera vi ett r-värde^ 

 Vf^, genom formeln: 



rljo'dio' = jo^^'ö'dco' , 



kan detta r^ betraktas såsom till hörande en centrallinie i hvirfvel- 

 tråden. Detta r^ är konstant. ^) 



Vi öfvergå till den andra af formlerna 4. Dess högra mem- 

 brum kan skrifvas: 



— ^W^ odtode . 



Z7t I OE Q 



^) Man jämföre härmed eu analog sats i teorien för en oändligt tunn cirku- 

 lär hvirfvelring. Se Helmholtz: Über die Integrale der hydrodynamischen 

 Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen; Kirschhoff: Vorlesungen, 

 über Mechanik sid. 265 ff. 



