294 OSEEN, OM ETT FALL AF HVIRFVELRÖRELSE I EN VÄTSKA. 



integrationsområdet kunna behandlas på samma sätt som det 

 första fallet. Integralerna bli små, och oin man går mot limes, 

 försvinna de. Därmed är satsen bevisad. 



Af det föregående framgår följande om hvirfveltrådens föi-- 

 ändring med tiden. Tråden kommer alltid att ha form af en 

 skruflinie med steghöjden ^rcli . Den har en centrallinie, som 

 alltid kommer att bli på samma afstånd från skrufliniens axel. 

 Skruflinien vrider sig omkring sin axel samtidigt därmed att dess 

 punkter glida utåt kurvan. 



Det återstår att besvara två frågor. Behäller hvirfveltråden 

 sin form af en oändligt tunn tråd? Och för det andra: hvilken 

 är den hastighet, hvarmed systemet roterar omkring axeln? 



Beträffande den första frågan framhålla vi, att hastighets- 

 komponenterna 'w , u , 10 \ en punkt x ^ y ^ z äro kontinuerliga 

 funktioner af ^ , ?/ , , detta äfven om punkten x ^ 3/ , z ligger 

 inom eller på gränsen af hvirfveltråden. Detta följer omedelbart 

 däraf, att m , u , xo äro byggda på samma sätt som komponen- 

 terna för den kraft, hvarmed materiella massor attrahera en 

 punkt. Lägga vi till våra föregående förutsättningar om funk- 

 tionen (7 den, att den skall vara en deriverbar funktion af ko- 

 ordinaterna för en punkt på hvirfveltrådens tvärsnitt, så följer 

 däraf vidare, att u , v och ic ha kontinuerliga första derivator. 

 Vi taga nu en punkt inom tvärsnittet på afståndet r^ från axeln. 

 Hastighetskomponenterna i en punkt på tvärsnittet skilja sig 

 frän motsvarande hastighetskomponenter i den nyssnämnda punk- 

 ten med storheter, som äro små af samma ordning som afståndet 

 mellan de båda punkterna. Då detta afstånd är litet för alla 

 punkter på tvärsnittet, så följer, att på mycket små storheter 

 när hastighetskomponenterna äro desamma för alla punkter på 

 tvärsnittet och således, att hvirfveltråden behåller sin form 

 af tråd. 



Vi hafva ofvan talat om en centrallinie i hvirfveltråden. 

 Dennas läge vid tiden t kan anges genom följande ekva- 

 tioner: 



1 



