296 OSBEN, OM ETT FALL AF HVIRFVELRÖRELSE I EN VÄTSKA. 



Vi betrakta fürst ett gränsfall. Vi ha tänkt oss hvirfvel- 

 trådens tvärsnitt mycket litet. V^i låta nu tvärsnittets area ten- 

 dera mot noll, och samtidigt låta vi a växa, så att I =^ j adco 

 förblir oförändradt, d. v. s. vi låta hvirfveltråden öfvergå i en 

 hvirfvellinie med samma intensitet som tråden. Den nyssnämnda 

 liastighetskomponenten blir då = motsvarande hastighetskompo- 

 nent hos liniens materiella punkter. Detta följer omedelbart 

 däraf, att en hvirfvellinie alltid består af samma materiella 

 punkter. Men hastighetskomponenten blir nu oo. Ty i det 

 ofvanstående uttrycket har man: 



1.Z I^l r°° (cos (e — £) — 1) fZe 



dt ' 27rJ [2^2 — 2rl cos (e -e) + h^ (e — fi)-^/^ ' 



Integranden blir oo för e = e , och integralen blir oändlig. 



Vi ställa oss nu den uppgiften att finna det sätt, hvarpå 

 hastighetskomponenten växer mot oo , när tvärsnittets area på 

 det ofvan angifna sättet tenderar mot O . Vi betrakta punkten 

 ,v. — r^ , ?/ = O , z — O . Omkring denna punkt utbreder hvirfvel- 

 skrufven ett fält af hastigheter. Detta fält skola vi jämföra 

 med det, som omkring samma punkt framkallas af en cirkulär 

 hvirfvelring, som vi konstruera på följande sätt. Dess tvärsnitt 

 skall vara detsamma som hvirfvelskrufvens och rotationshastig- 

 heten därinom skall vara fördelad på samma sätt som inom 

 hvirfvelskrufvens hastighet. Det återstår att fastställa cirkelns 

 storlek och läge i rummet. För detta ändamål lägga vi genom 

 punkten x — r^^ , ?/ =-- O , z = det oskulerande planet till hvirfvel- 

 skrufvens centrallinie. Detta utskär en ellips på den räta cy- 

 linder, på hvilken centrallinien ligger. Oskulerande cirkeln till 

 denna ellips i punkten a; — r,^ , y ~ Q , z — O skall vara central- 

 linie i den cirkulära hvirfvelringen. 



Denna centrallinie är analytiskt definierad genom ekva- 

 tionerna: 



