ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANBLINGAR 1902, N:0 9. 305 



COS '-U-dU 



h 



[1 + U"YT- 



där p är ett positivt helt tal > 1 . Vi sätta: 



K{^\ 



cos xU • dU 



[1 + U-q-T- 



och här framträder den uppgiften att beräkna funktionerna Kp . 

 Om vi begagna oss af den begränsning vi förut pålagt oss an- 

 gående storleken af r , finna vi emellertid att det endast är nöd- 

 vändigt att beräkna de första af funktionerna Kp . Dessa ha 

 förut funnit uppmärksamhet inom teorien för hvirfvelrörelse i 

 vätskor. J. J. Thomson har för dem angifvit följande semi- 

 konvergenta utveckling: ^) 



Z(^x)p = \'-2nxP 



-^ ^-^0' o 



1 • 3 • 5 . . . 2p — 1 Vc-c I ^^ 



Härmed är utvecklingen af lo verkställd. 

 De första termerna af utvecklingen äro 



— Vr2 + r2 



O ^ '■ 





(2.t?)2 . 2 



+ 



lA^r 



rr^ 



3A(16r2 — 19r2) 



cos {/—(At) 



8r2 _ 7r2 

 + 0- + 



hVr^-^^ 2^{r'- + rl) 



2J(ri + r^fl^ 



+ . 



där Af^ har det förut angifna värdet, nämligen antingen . — y — 

 eller O . 



Vi öfvorgå till beräkningen af xu + yv . Då detta är en 

 udda funktion af V = f — ut, sätta vi: 



Xu + yv = ^A sin mV 



Man har 



') Motion of vortex rings. Sid. 61., 



