EGENSKAPER UOS DU FOURIERSKA SERIERNA. 513 



F(x, t) cos nt dt 



P 



o 



fi 



F(x,t) sin nt dt 



vara sohdioner till eqvationen 



d 



m-^^']y-- 



åtminstone såvida de trigonometrisha serier, i Jivilka F (x,t) låter 

 utveckla sig, äro så beskaffade, att de rnedgifva användning på 



sig af operations-symholerna —^ och f[ — I. 



P Så t. ex. erhåller man, om till fi — I tages 



d 



'/I 



a" 

 till F{x,t) 



c? — , 



dx^ 



(f (x + at) + ip(x — at), 

 der w och jp betyda hvilka functioner soni helst, samt genom 

 tillämpning af föregående theorem de anmärkningsvärda form- 

 lerna: 



nx 



(12) / \_(p(x + at) + \p(x — at)\ Q,05ntdt= A cos \- Bs\n 



o 



/-»^ 

 (13j I \ w (x + at) + ip (c^• — at)^ sin nt dt — Ccos — + J9 sin — , 



o 

 (der A, B, C och D betyda obestämda konstanter, beroende af 

 functionernas (fi och ip beskaftenhet), så ofta som vilkoret för 

 det ifrågavarande theoremets giltighet är uppfylldt. 



Emedlertid är detta vilkor så beskaffadt, att det högst be- 

 tydligt inskränker användningen af föreg. theorem. De trigono- 

 metriska serierna, i alla tider kända för att vara functioner af 

 särdeles vådlijg beskaffenhet, afvika nemligen frän de s. k. expo- 

 ncntial-sorierna bland annat deruti, att de särdeles ofta icke låta 

 derivera sig. Vi vilja i detta afseende underkasta dessa functio- 

 nir en kort undersökning. 



