514 t^- 1''- E. BJÜÜLING 



Uppenbarligen låter serien: 



(14) F(t) = hio + ^'^^,>^osnt 



71 = 1 



derivera sig i afseende på t, så ofta som coefficienterna i den 

 derigenom uppkommande serien: 



71= CO 



(15) F'it) = -;§9m,, smnt 



n = l 



satisfiera vilkoret 



2 r*"^ 



(16) — F'(t)smntdt=^-nu^^, 



o 

 och tillika F'{t) icke blir oändlig för någon ^-valör mellan o och 

 7T. Genom partiel integration antager (16) formen 



71 TT 



2 / 271 P 



(17) — F(t) sin 7it F(t)cosntdt= -nu^^, 



o o 



hvilket ju alltid är en sanning, på grund af (3), åtminstone så- 

 vida F(t) icke blir oändlig i någondera gränsen. Serien (14) 

 låter således alltid derivera sig, såvida detta vilkor är uppfylldt. 

 Helt annat är förhållandet med en sinus-serie. Använda vi 

 samma resonnement, som nyss, på eqvationen: 



w = co 



(18) F(t)=z!^v^^s\nnt, 



n = l 



s så erhålla vi tydligen såsom vilkor för dess derivation, att coef- 

 ficienterna i den derigenom uppkomna serien : 



n = <X) 



(19) F' (t) -=^nv^^ cos nt 



n = l 



skola satisfiera eqvationen: 



2 r"" 



(20) — F(t)cosntdt= nv^^, 



o 



eller, som är detsamma: 



/TT TT 



2n r* 

 F{t) cos nt + — F(t) sin nt dt = no^^ , 

 o o 



