EGENSKAPER HOS DE FOURIERSKA SERIERNA. 515 



hvilket i allmänhet icke är fallet, såframt icke 

 F(o)=^F(ti) = o. 

 Resultatet af denna undersökning kunna vi alltså samman- 

 fatta i följande 



Se7 



Th eore m. 



m=co 



F(t) = l^i\^ sinnt 



n = l 



late?' derivera sig, såvida likheten gäller icke blott för alla t-valörer 

 mellan o och n, utan och i sjelfva gränserna; deremot erfordras, 

 för att serien 



F(t) = huQ + l^ u^^ cos nt 



n = l 



skall kunna deriveras, endast att F(t) skall hafva finit valör för 

 t = o och t = 7i; allt under förutsättning, att F'(t) icke blir oänd- 

 lig för någon t-valör mellan de nämnda gränserna. 



Såsom exempel på det nu anförda uppgifva vi formlerna 



(22) r\F(e'f''^''^+'') + F(e-'f^''^-'')\ cos nt di =Ae''f'^''h B e-'^f'^^'K 



o 



(23) ßF(e'f'^'^^+'')-F(e-'r^''^-'')\ shmtdt= Ce'"f'^''hl)e-'"f'^''\ 

 o 



hvilkas giltighet är ganska vidsträckt, ehuru vi här ej vilja in- 

 låta OSS på någon undersökning af densamma. Functionen under 

 integraltecknet satisfierar den partiella differentialeqvationen: 



och högra membrum den totala: 



(25) y'(.>.-)S-?'>)5=""f9'Wfr 



