4 Johannes (I) Bernoulli. 



Etenim addantur a + et x + e, summa erit a + x + e. Minor sub- 

 trahatur nempe a + x. Residuum erit + e=dx. Q. E. D. 



Quae de Quantitatibus additis dicta sunt, mutatis mutandis, 

 ad quantitates de se invicem subtractas etiam applicari possunt. 



[2] De Quantitatum compositarum Differentialibus. 



Quantitatis ax differentialis est adx. Quod sie probatur: 

 multipl. x + e suppone e=dx 



cum a + id est a plus nihil, quia a est quantitas 

 prod. ax + ae determinata, quae nullam habet differentialem 

 de quo subtr. ax 



restât ae = adx q. e. d. 

 Quantitatis xx differentialis est 2x dx. quod sie demonstratur : 

 Multiplicata x + e per x + e. Productum erit xx + %ex + ee. 

 Subtrahatur xx. Restât %ex+ee, quod per postulatum primum 

 = 2ex = 2xdx. Q. E. D. 



x 3 différent, est = 3 x x d x. Multipl. x + e, x + e, x + e. Pro- 

 ductum est x 3 + Se xx + Qee x + e 3 . Subtr. x 3 . Restât 3exx + 

 3ee# + e 3 =per postul. primum 3e xx = 3xx dx. Pari ratione de- 

 monstratur, quod quant. # 4 différent. =4 x 3 dx et x 5 différent. 

 = 5x i dx et x 6 différent. 6x 5 dx. et similiter de caeteris. 

 Ex quibus sequens Regula Generalis dici potest: 

 Reg. 2. Quantitatis indeterminatae, quameunque dimensionem 

 habentis, differentialis est productum ejusdem quantitatis elevatae 

 ad eandem dimensionem nnitate diminutam, in differentialem 

 suam, toties sumptum, quot dimensiones quantitas incleterminata 

 habet. Sive si characteribus regulam exprimere magis juvat: 

 x p differentialis =p x p ~ dx . 



[3] Quantitatis xy differentialis est x dy + y dx. Multipl. x + e 

 per y+f (supposito e=dx et f = dy). Prod. xy + ey +fx + ef 

 Subtrahe xy. Restâtes/ +fx + ef = per postul. ley+fx = ydx + xdy 

 q. e. d. xyz différent. =xy dz +zx dy +zy dx. Multipl. x + e, 

 y+f, z+g suppon g = dz. Product xyz + zye +zxf + xyg +zef + 

 yeg + xfg + gef. subtr. zxy restât zye+zxf + xyg +zef + yeg + _ 

 xfg + gef = -per postulatum 1. zye+zxf + xyg=zy dx+zx dy + 

 xy dz. Pari modo demonstratur, xy zu differentialem esse = 

 xyz du + xy u dz + xz u dy + yz u dx. Et sie de caeteris. Ex 

 quibus etiam formari potest 



Regida 3. Producti plurimarum quantitatum in se invicem 

 differentialis est aequalis summae produetorum unius cujusque 

 differentialis in productum reliquarum. 



