16 Johannes (I) Bernoulli. 



Curvae Tangentem invenire. Sit (Fig. 13) radius AC = a peripheria 

 DDCD = b AB = x, et ducatur perpendicularis A E ad lineam A B. 

 Erit Radius AC ad peripheriam ut AB ad arcum CKD. Item 



AD- AFr.DD-FG a- x ::^-^ -^^ poiro BG ■ FG :: A B - AE 



a a a 



i.e. as ■- - : : x • = s *). feie si langens m puncto C ducenda 



aa aa 



sit, invenitur s = b quod Archimedes longo discursu clemonstravit. 



[20] Problema XII. 

 De Maxi mis et Mi ni mis. 



Ad inveniendam quantitatem maximam, considerantur quanti- 

 tates, ut ordinatim applicatae alieujus curvae coneavae versus 

 axem, ut in Fig. ABC (Fig. 14). Et vice versa ad inveniendam 

 quantitatem îmuimam, considerantur ut applicatae alieujus 

 Curvae convexae versus axem, ut in Fig. G DE, ubi GE axis. 

 His consideratis ducatur Tangens in puncto maximae vel minimae, 

 quae erit parallela Axi. Quia dy • dx:: y • s et y infinities minor 

 quam Subtangens, erit etiam dy =0 respectu ipsius dx. Ita si 

 inveniendum sit maximum rectangulum eorum, quae faciunt duae 

 partes x et a -x lineae datae a, considero ax -xx ut applicatam 

 in quadam Curva coneava versus axem, et ejus differentialem 

 a dx -2x dx = 0. Idcirco a dx = 2x dx et x = ^a. Erit igitur 

 maximum rectangulum, si x sumatur = \a. 



Problema XIII. 



Dividere lineam datam in très partes, ita ut partes multi- 

 plicatae invicem faciant maximum solidum, quod potest produci 

 a tribus partibus ejusdem lineae. 



Sit (Fig. 15) pars AB = x, erit reliqua bisecanda in puncto 

 D est autem per Probl. XII [JBD sive DDC maximum rectan- 

 gulum duarum partium lineae BC, ergo idem multiplicatum per 

 partem AB etiam maximum [21] solidum trium partium ejusdem 

 lineae. Sic aax -2axx + x 3 = Maximo. Ejusque differentiale 

 aa dx -4ax dx + Sxx dx = et xx = $ s ax -\ aa et x = \a. 



Eodem modo, si linea AC secanda sit in quatuor partes, ita 

 ut partes multiplicatae in se invicem faciant maximam quanti- 



bx dx 

 *) Anders ausgedrückt: aus der ersten Proportion folgt F G = — 



bx- 

 und demnach aus der zweiten AE = s = 



