24 Johannes (I) Bernoulli. 



cavam; punctum autem illud, quod cluas istas curvaturas separat, 

 vel quod finis prioris et principium posterions est, vocatur punc- 

 tum flexis vel recurvationis. Quoties itaque Curva suam curva- 

 turam mutat, tot puncta flexus habebit, quae quo modo in curvis 

 determinanda sint, in praesentiarum unum vel alterum modum 

 trademus. 



Primus Modus. 



Ex Contemplatione Curvarum patet, quod, quousque Curvae 

 uniformem Curvaturam obtinent, Tangentes crescentibus ab- 

 scissis continuo a vertice curvae recédant; quam primum autem 

 Curva contrariam curvaturam induit, Tangentes crescentibus 

 abscissis iterum ad verticem accedunt. Hoc inquam cuivis na- 

 turam curvaturarum attente consideranti obviam venit; Ex his 

 ergo punctum flexus facillime determinatur. Quia enim Tangens in 

 puncto flexus remotissima est a vertice, erit [30] subtangens minus 

 abscissa, vel abscissa minus Sabtangente, omnium possibilium 

 maxima, id est t-x = m vel x-t = m, proinde per Methodum 

 de maximis et minimis traditam erit dt-dx = vel dx -dt = 0. 

 Ex qua aequatione emergit valor abscissae x, ad quam applicata 

 y déterminât punctum flexus quaesitum. 



Methodus secundus. 



Idem hoc punctum aliter sic inveniri potest: Concipio illud 

 ibi esse, ubi Curva simul est convexa et concava, unum enim 

 aeque est ac alterum, quoniam vero utrumque esse non potest, 

 oportet ut sit recta, id est, neque convexa neque concava (: hoc 

 autem non intelligendum est ac si curvae quaedam portio finita 

 esset recta, sed quod saltem cluae particulae infinitae parvae in 

 directum jaceant:). Cum ergo in quavis recta posita dx con- 

 stante, dy sit quoque constans, et proinde ddy (differentiale 

 diff erentialis ipsius y) sit = 0, haberi poterit punctum flexus f aciendo 

 ddy = ex qua aequatione determinabitur abscissa x, simul que 

 punctum quaesitum flexus. Exempla per utrumque modum 

 solvenda rem magis illustrabunt. 



Sit igitur ABC (Fig. 23) curva data, cujus natura (posito 

 A D'= x BD = y) exprimitur per hanc aequationem axx -yxx -aay 

 = quaeritur punctum flexus B. Per modum priorem. Sumantur 

 differentialia aequationis, et habebitur 2ax dx - xx dy -2xy dx - 

 aady=0 ideoque 2ax dx -2yx dx = xx dy + aa dy , et proinde 

 2a x -2yx • xx + aa : : dy • dx:: y • t; Reperitur itaque 



