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Indem wir so weiter gehen, erhalten wir immer 

 kleinere Perioden, und es sind nur zwei Fälle möglich. 

 Entweder findet nach einer endlichen Anzahl von Ope- 

 rationen Gleichheit statt: 



NP — 2^. 3ÏN = 0, 



wo p eine ganze Zahl bedeutet; daraus folgt zwischen 

 a und b eine Gleichung von der Form 



wo ni und n ganze Zahlen sind; d. h. die beiden Perio- 

 den reducieren sich auf die eine 



m 'U 



Oder wenn a und h nicht commensurabel sind, so 

 geht das Verfahren unbegrenzt weiter und führt zu immer 

 kleineren Werthen der Periode. Da der Werth unter 

 jede endliche Grösse sinkt, hat die Function in zwei 

 beliebig nahe gelegenen Punkten der Geraden denselben 

 Werth. Die Function wird also constant, wenn sie 

 zwei von einander unabhängige reelle Perioden a und b 

 haben soll. 



2. Betrachten wir nun Functionen complexen Argu- 

 ments, so werden die Werthe der Yeränderlichen 



dargestellt durch die Punkte einer Ebene. Die Perioden 

 haben im Allgemeinen complex imaginäre Werthe , dar- 

 gestellt durch Strecken in der Ebene von gegebener 

 Länge und Richtung. Soll also die Function periodisch 

 sein um 



wo a und ß reelle Grössen bedeuten, und wird die com- 

 plexe Grösse a dargestellt durch die Strecke MA^ so 



