114 PHRAGMÉN, FUND AMENTALSATZ DER ALGEBllA. 



ken, meinen Beweis hier mitzuteilen, in der Hoffnung dass er 

 ausser meinem genannten Freunde vielleicht auch Anderen will- 

 kommen sein wird. 



Die Voraussetzungen, aufweiche der im Folgenden entwickelte 

 Beweis basirt ist, können unter den folgenden Hauptpunkten 

 zusammengefasst werden: 



l:o) Begriff und Theorie der irrationalen Zahlen; 



2:o) Stetigkeit ganzer rationaler Functionen; 



3:o) Algorithmus zur Aufsuchung des grössten gemeinschaft- 

 lichen Theilers, STURM'scher Satz; 



4:o) Eine ganze rationale Function einer Veränderlichen vom 

 n-ten Grade kann höchstens n mal ihr Vorzeichen wechseln; 



5:o) Nimmt die ganze rationale Function einer Veränder- 

 lichen f(a) zwischen .v^ und x^ irgend einen Werth an, welcher 

 grösser ist als sowohl /(^o) ^^^'^ /(^i)» ^^ wechselt die erste Deri- 

 virte /'(x) zwischen .^■y und x^ ihr Vorzeichen. 



Die erste dieser Voraussetzungen hat zwar für die Formu- 

 lirung sowohl des Satzes selbst wie des Beweises eine sehr ein- 

 greifende Bedeutung. Es ist aber leicht einzusehen, dass diese 

 Bedeutung im Wesentlichen auch nur formal ist, und dass die 

 erste Voraussetzung mit leichter Mühe ganz vermieden werden 

 könnte. 



2. Es sei eine Reihe von Functionen Gn{u) durch die Be- 

 dingung definirt, dass 



(1) ^-^o('0=l' G,{u) = 2u 

 sein soll, und für w > 1 



(2) G,(u) = 2uG,^M - Gn-2{u) . 



Man sieht unmittelbar, dass G„{u) eine ganze rationale Function 

 w-ten Grades ist, welche für n verschiedene Werthe von u zwi- 

 schen u = — 1 und u — +1 gleich Null wird. Die Gleichungen 

 (2), (1) definiren nämlich einen Sturmschen Algorithmus, und 

 GnO) ist offenbar positiv für jeden Werth von n, während 

 G„(— 1) das Zeichen (— 1)« hat. 



