118 PHRAGMÉN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA. 



dH„(>i) ndu 



giebt. Diese Gleichungen ergeben unmittelbar den Zusammenhang 

 der Functionen Gn{u), Hn{u) mit der Theorie der trigonometri- 

 schen Functionen. (Setzt man m = cos(/), so wird Hn{u) ^^ cos ncf^ 



(t,j_i(h) = sin nrf : sin (p). 



4. Ehe wir dazu übergehen, die oben entwickelten Betrach- 

 tungen für den Beweis des P'undamentalsatzes der Algebra zu 

 verwerthen, will ich zuerst einen einfachen Satz über die relative 

 Lage der reellen Wurzeln zweier Gleichungen beweisen. 



Es seien f{^x) und g{x) zwei ganze rationale Functionen der 

 Veränderlichen ^c, mit dem grössten gemeinschaftlichen Theiler 

 Ji{x). Ist 



so kann man die zwei Functionen i.i{x), v{,i;) und die positive 

 Grösse / so bestimmen, dass 



f.i(ic) (p(x) + i{x) \p{x) = l . 

 Ferner kann man eine positive Grösse iV so wählen, dass für 



Xq < X < A'j 



h(^)|<iV 



ist. Dann hat man also 



IV^(-»)I>]^' 



sobald 



q)(^x) = , Xq < X < A'j . 



Es hat nunmehr keine Schwierigkeit eine so kleine positive 

 Grösse ö anzugeben, dass 



\x->j\>å 



sobald 



(p{w) = , yj{t/) = , A'o < X < a?i 



ist. Man setze nämlich 



y = x + z , 



SO ist 



ipiy) =. iijU,) + ^ip(x) + z''^i^ + 



