ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 91, N:0 3. 119 



jetzt kann die positive Grösse M so gross gewählt werden, dass 

 für x^ <^ X <i cc^ 



yj"(x) 



I y;'{x) \<M, 



< M , u. s. w. 



|2 



Dann ist es hinreichend z der Ungleichheit 



I ^- 



gemäss zu wählen, um sicher zu sein dass tp(a; + z) nicht gleich- 

 zeitig mit (p(w) gleich Null sein kann, wenn a;^ < ä? < ä;, . Man 



kann also die gesuchte Grösse d gleich j^x setzen. 



Wir theilen jetzt die Strecke a-^, . . . x^ in eine Reihe von 

 Theilstrecken ein, von denen jede kleiner als d ist. Ist für jeden 

 der beiden Werthe x — a'„ und x = a;^ die F'unction /(.?;) von Null 

 verschieden, so können wir offenbar diese Theilung der Strecke 

 Xq . . . x^ so ausführen, dass die Function f{x) an keinem der 

 Endpunkte der Theilintervalle gleich Null wird, und g{x) höch- 

 stens in den beiden äussersten x^^ und x^. Die so erhaltenen 

 Theilstrecken können offenbar nur dreierlei Art sein: entweder 

 enthalten sie nur Wurzeln der Gleichung (f{x) = 0, oder nur 

 Wurzeln der Gleichung ipix) = oder auch keine Wurzel dieser 

 Gleichungen. Ist der grösste gemeinschaftliche Theiler h{x) 

 zwischen .r„ und x^ von Null verschieden, so gilt dasselbe offen- 

 bar wenn wir f(x) und g{x) statt cp{x) und ip(x) schreiben. 



Man könnte ohne Schwierigkeit durch eine endliche Anzahl 

 rationaler Operationen für jede Theilstrecke entscheiden, ob f{x) 

 oder g{x) innerhalb derselben Wurzeln hat oder nicht, und im 

 letzteren Falle eine positive Grösse bestimmen unter welche der 

 absolute Betrag der Function nicht fällt. Es genügt aber für 

 unseren Zweck zu constatiren dass es eine solche Grt)sse giebt. 

 Aus dieser Thatsache können wir nämlich den folgenden Schluss 

 ziehen, welchen wir unten für den Beweis des Fundamentalsatzes 

 der Algebra verwerthen werden. 



